Amplada total a la meitat del màxim

L'amplada total a la meitat del màxim,^[1] abreviada FWHM (de l'anglès Full Width at Half Maximum), és un paràmetre de les funcions o corbes que descriu l'amplada dels pics. El seu valor es correspon amb l'amplada d'una funció entre dos punts d'aquesta que tenen una alçada igual a la meitat de l'alçada màxima de la funció.

Matemàticament es poden expressar els valors de la variable independent en els quals l'alçada serà la meitat de l'alçada màxima (${\displaystyle x_{0}}$):

${\displaystyle f(x_{0})={\frac {f(x_{max})}{2}}}$

Per tant, els valors de l'amplada total a la meitat del màxim per un pic seran:

${\displaystyle {\text{FWHM}}=x_{2}-x_{1}}$

On ${\displaystyle x_{2}}$ i ${\displaystyle x_{1}}$ són els valors trobats per ${\displaystyle x_{0}}$ a la dreta i l'esquerra del pic, respectivament.

Un exemple de càlcul de l'amplada total a la meitat del màxim és la funció gaussiana, que es defineix amb l'expressió:

${\displaystyle f(x)=a\exp {\Biggl [}-{\frac {(x-b)^{2}}{2c^{2}}}{\Biggr ]}}$

Per tant, aplicant la fórmula per trobar els valors ${\displaystyle x_{0}}$ de la variable independent, tenint en compte que la funció gaussiana assoleix l'alçada màxima quan ${\displaystyle x=b}$:

${\displaystyle a\exp {\Biggl [}-{\frac {(x_{0}-b)^{2}}{2c^{2}}}{\Biggr ]}={\frac {a}{2}}}$

Aplicant identitats logarítmiques es pot expressar:

${\displaystyle {\frac {(x_{0}-b)^{2}}{2c^{2}}}=\ln(2)}$

${\displaystyle x_{0}=b\pm c{\sqrt {2\ln(2)}}}$

Per tant, l'amplada total a la meitat del màxim serà:^[2]

${\displaystyle {\text{FWHM}}=x_{2}-x_{1}=2c{\sqrt {2\ln(2)}}\approx 2.3548c}$

L'amplada total a la meitat del màxim també té solució analítica per altres distribucions i funcions comunes com la distribució de Cauchy (${\displaystyle 2\gamma =\Gamma }$).^[3]

Referències