Conjunt perfecte
En topologia, un conjunt perfecte és un subconjunt tancat tal que tots els seus punts són punts d'acumulació (és a dir, el conjunt manca de punts aïllats).
Caracterització
Siga S un conjunt i S′ el conjunt dels seus punts d'acumulació. Note's que un conjunt S d'un espai topològic és tancat quan , és a dir, quan conté tots els seus punts d'acumulació. Dos conjunts S i T estan separats quan són disjunts i quan els conjunts derivats, formats pels seus punts d'acumulació, també són disjunts. En aquestes condicions, el conjunt S és un conjunt perfecte si S = S′. Això equival a la definició original, un conjunt és perfecte si és un conjunt tancat sense punts aïllats.
Propietats
- Els conjunts perfectes són importants en les aplicacions del teorema de categories de Baire.
- Un conjunt perfecte d' és necessàriament no numerable.
- El conjunt Xº dels punts de condensació d'X és un conjunt perfecte, i.e. tancat i dens.[1]
Exemples
- En , qualsevol unió finita d'intervals tancats de la forma és un conjunt perfecte.
- El conjunt de Cantor és un conjunt perfecte, i per tant no numerable.
Referències
- ↑ Ayala-Domínguez-Quintero. Addison-Wesley Iberoamericana España, S.A. Elementos de topología general. ISBN 978-84-7829-006-2.
Bibliografia
- Kechris, A. S.. Classical Descriptive Set Theory. Springer-Verlag, 1995. ISBN 978-0-387-94374-9.