Constant de Cahen

En matemàtiques, la constant de Cahen es defineix com una sèrie infinita de fraccions unitàries, amb signes alterns, derivades de la successió de Sylvester:

C = ∑ ( − 1 ) i s i − 1 = 1 1 − 1 2 + 1 6 − 1 42 + 1 1806 − ⋯ ≈ 0.64341054629. {\displaystyle C=\sum {\frac {(-1)^{i}}{s_{i}-1}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{42}}+{\frac {1}{1806}}-\cdots \approx 0.64341054629.}

Si s'agrupen aquestes fraccions en parelles, es pot considerar la constant de Cahen com una sèrie de fraccions unitàries positives formades a partir dels termes en els llocs parells de la successió de Sylvester. Aquesta sèrie és un exemple d'algorisme voraç per a fraccions egípcies:

C = ∑ 1 s 2 i = 1 2 + 1 7 + 1 1807 + 1 10650056950807 + ⋯ {\displaystyle C=\sum {\frac {1}{s_{2i}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{1807}}+{\frac {1}{10650056950807}}+\cdots }

Aquesta constant rep el seu nom per Eugène Cahen (també conegut per la integral de Cahen-Mellin), que va ser el primer a formular i investigar la sèrie (Cahen 1891).

Se sap que la constant de Cahen és transcendent (Davison and Shallit 1991), i és un dels pocs nombres transcendents construïts de manera natural l'expansió en forma de fracció contínua de la qual es coneix íntegrament: si es forma la successió

1, 1, 2, 3, 14, 129, 25298, 420984147, ...[1]

definida per la recurrència

q n + 2 = q n 2 q n + 1 + q n {\displaystyle q_{n+2}=q_{n}^{2}q_{n+1}+q_{n}}

llavors l'expansió en forma de fracció contínua de la constant de Cahen és

[ 0 , 1 , q 0 2 , q 1 2 , q 2 2 , … ] {\displaystyle [0,1,q_{0}^{2},q_{1}^{2},q_{2}^{2},\ldots ]}

(Davison i Shallit 1991).

Referències

  • Cahen, Eugène «Note sur un développement des quantités numériques, qui présente quelque analogie avec celui en fractions continues». Nouvelles Annales de Mathématiques, 10, 1891, p. 508–514.
  • Davison, J. Les; Shallit, Jeffrey O. «Continued fractions for some alternating series». Monatshefte für Mathematik, 111, 2, 1991, p. 119–126. DOI: 10.1007/BF01332350.

Notes

  1. ↑ (successió A006279 a l'OEIS)

Enllaços externs

  • Weisstein, Eric W., «Cahen's Constant» a MathWorld (en anglès).
  • «The Cahen constant to 4000 digits». Plouffe's Inverter. Arxivat de l'original el 17 març 2011. [Consulta: 19 març 2011].
  • «Cahen's constant (1,000,000 digits)». Darkside communication group (in Japan). [Consulta: 25 desembre 2017].