Corxet Lie de camps vectorials

En el camp matemàtic de la topologia diferencial, el corxet Lie de camps vectorials, també conegut com a corxet de Jacobi – Lie o commutador de camps vectorials, és un operador que assigna a dos camps vectorials X i Y qualsevol d'una varietat llisa M un tercer camp vectorial denotat per [X, Y].

Conceptualment, el corxet de Lie [X, Y] és la derivada de Y al llarg del flux generat per X, i de vegades es denota ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y}$ ("Derivada de Y al llarg de X"). Això es generalitza a la derivada de Lie de qualsevol camp tensor al llarg del flux generat per X.^[1]

El corxet de Lie és una operació R - bilineal i converteix el conjunt de tots els camps vectorials suaus de la varietat M en una àlgebra de Lie (de dimensions infinites).^[2]

El corxet de Lie té un paper important en la geometria diferencial i la topologia diferencial, per exemple en el teorema d'integrabilitat de Frobenius, i també és fonamental en la teoria geomètrica dels sistemes de control no lineals.^[3]

Hi ha tres enfocaments conceptualment diferents però equivalents per definir el corxet Lie:

Cada camp vectorial suau ${\displaystyle X:M\rightarrow TM}$ en una varietat M es pot considerar com un operador diferencial que actua sobre funcions suaus ${\displaystyle f(p)}$ (on ${\displaystyle p\in M}$ i ${\displaystyle f}$ de classe ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$) quan definim ${\displaystyle X(f)}$ ser una altra funció el valor de la qual en un punt ${\displaystyle p}$ és la derivada direccional de f en p en la direcció X (p). D'aquesta manera, cada camp vectorial llis X esdevé una derivació sobre C^∞(M). A més, qualsevol derivació sobre C^∞(M) sorgeix d'un camp vectorial suau únic X.^[4]

En general, el commutador ${\displaystyle \delta _{1}\circ \delta _{2}-\delta _{2}\circ \delta _{1}}$ de dues derivacions qualsevol ${\displaystyle \delta _{1}}$ i ${\displaystyle \delta _{2}}$ és de nou una derivació, on ${\displaystyle \circ }$ indica la composició dels operadors. Això es pot utilitzar per definir el parèntesi de Lie com el camp vectorial corresponent a la derivació del commutador:

${\displaystyle [X,Y](f)=X(Y(f))-Y(X(f))\;\;{\text{ per tot }}f\in C^{\infty }(M).}$