Equació d'Euler-Tricomi

En matemàtiques, l'equació d'Euler-Tricomi és una equació en derivades parcials lineal útil per a l'estudi del flux transònic. Rep el nom de Leonhard Euler i Francesco Giacomo Tricomi.

${\displaystyle u_{xx}+xu_{yy}=0.\,}$

És el·líptica en el semiplà ${\displaystyle x>0}$, parabòlic en ${\displaystyle x=0}$, i hiperbòlic al semipla ${\displaystyle x<0}$. Les seves característiques són:

${\displaystyle x\,dx^{2}+dy^{2}=0,\,}$

la integral de la qual és:

${\displaystyle y\pm {\frac {2}{3}}x^{3/2}=C,}$

on ${\displaystyle C}$ és una constant d'integració. Per tant, les característiques comprenen dues famílies de paràboles semicúbiques, amb cúspides en la línia ${\displaystyle x=0}$, i les corbes es troben al costat dret de l'eix ${\displaystyle Y}$.

Solucions particulars

Les solucions particulars a les equacions d'Euler-Tricomi són del tipus:

• ${\displaystyle u=Axy+Bx+Cy+D,\,}$
• ${\displaystyle u=A(3y^{2}+x^{3})+B(y^{3}+x^{3}y)+C(6xy^{2}+x^{4})+D(2xy^{3}+x^{4}y),\,}$

on ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ i ${\displaystyle D}$ són constants arbitràries.

Una expressió general per a aquestes solucions és la següent:

• ${\displaystyle u=\sum _{i=0}^{k}{\frac {x^{m_{i}}\cdot y^{n_{i}}}{c_{i}}}\,}$

on

• ${\displaystyle p,q\in [0,1]}$
• ${\displaystyle m_{i}=3i+p}$
• ${\displaystyle n_{i}=2(k-i)+q}$
• ${\displaystyle c_{i}=m_{i}!!!\cdot (m_{i}-1)!!!\cdot n_{i}!!\cdot (n_{i}-1)!!}$

L'equació d'Euler-Tricomi és una forma limitada de l'Equació de Txapliguin.

Bibliografia

• Polyanin, A. D. Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists (en anglès). Chapman & Hall/CRC Press, 2002. 

Vegeu també

• Equació de Burgers

Enllaços externs

• «Tricomi and Generalized Tricomi Equations» (PDF) (en anglès). EqWorld: The World of Mathematical Equations.