Fórmula de Cauchy per a la integració repetida

La fórmula de Cauchy per a la integració repetida, que porta el nom d'Augustin Louis Cauchy, permet comprimir n primitives d'una funció en una única integral. Es generalitza notablement en l'anàlisi fraccionari.

Cas escalar

Sigui f una funció contínua sobre la recta real. Aleshores l'enèsima integral repetida de f amb el punt base a,

f ( − n ) ( x ) = ∫ a x ∫ a σ 1 ⋯ ∫ a σ n − 1 f ( σ n ) d σ n ⋯ d σ 2 d σ 1 , {\displaystyle f^{(-n)}(x)=\int _{a}^{x}\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n-1}}f(\sigma _{n})\,\mathrm {d} \sigma _{n}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}\,\mathrm {d} \sigma _{1},}
ve donada per integració única
f ( − n ) ( x ) = 1 ( n − 1 ) ! ∫ a x ( x − t ) n − 1 f ( t ) d t . {\displaystyle f^{(-n)}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t.}

Prova

La demostració es dóna per inducció. Com que f és contínua, el cas base es desprèn del teorema fonamental del càlcul:

d d x f ( − 1 ) ( x ) = d d x ∫ a x ( x − t ) 0 0 ! f ( t ) d t = d d x ∫ a x f ( t ) d t = f ( x ) ; {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f^{(-1)}(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\int _{a}^{x}{\frac {(x-t)^{0}}{0!}}f(t)\,\mathrm {d} t={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t=f(x);}
on
f ( − 1 ) ( a ) = ∫ a a f ( t ) d t = 0. {\displaystyle f^{(-1)}(a)=\int _{a}^{a}f(t)\,\mathrm {d} t=0.}

Ara, suposem que això és cert per a n, i ho demostrem per a n+1. En primer lloc, utilitzant la regla integral de Leibniz, tingueu en compte que

d d x [ 1 n ! ∫ a x ( x − t ) n f ( t ) d t ] = 1 ( n − 1 ) ! ∫ a x ( x − t ) n − 1 f ( t ) d t . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\right]={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t.}

Aleshores, aplicant la hipòtesi d'inducció,

f − ( n + 1 ) ( x ) = ∫ a x ∫ a σ 1 ⋯ ∫ a σ n f ( σ n + 1 ) d σ n + 1 ⋯ d σ 2 d σ 1 = ∫ a x 1 ( n − 1 ) ! ∫ a σ 1 ( σ 1 − t ) n − 1 f ( t ) d t d σ 1 = ∫ a x d d σ 1 [ 1 n ! ∫ a σ 1 ( σ 1 − t ) n f ( t ) d t ] d σ 1 = 1 n ! ∫ a x ( x − t ) n f ( t ) d t . {\displaystyle {\begin{aligned}f^{-(n+1)}(x)&=\int _{a}^{x}\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n}}f(\sigma _{n+1})\,\mathrm {d} \sigma _{n+1}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&=\int _{a}^{x}{\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{\sigma _{1}}\left(\sigma _{1}-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&=\int _{a}^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \sigma _{1}}}\left[{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{\sigma _{1}}\left(\sigma _{1}-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\right]\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&={\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}}

Això completa la prova.

Generalitzacions i aplicacions

La fórmula de Cauchy es generalitza a paràmetres no-enters per la integral de Riemann-Liouville, on n ∈ Z ≥ 0 {\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{\geq 0}} es substitueix per α ∈ C ,   ℜ ( α ) > 0 {\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} ,\ \Re (\alpha )>0} , i el factorial es substitueix per la funció gamma. Les dues fórmules coincideixen quan α ∈ Z ≥ 0 {\displaystyle \alpha \in \mathbb {Z} _{\geq 0}} .[Nota 1]

Tant la fórmula de Cauchy com la integral de Riemann-Liouville es generalitzen a una dimensió arbitrària pel potencial de Riesz.

En el càlcul fraccional, aquestes fórmules es poden utilitzar per construir una diferintegral, que permet diferenciar o integrar un nombre fraccionari de vegades. La diferenciació d'un nombre fraccionari de vegades es pot aconseguir mitjançant la integració fraccionària i després diferenciant el resultat.

Amb uns quants passos de transformació és possible trobar una fórmula per a la α {\displaystyle \alpha } -èsima derivada.

També es poden trobar aplicacions en l'electroquímica, reologia i en la física (problema de la tautòcrona).

Notes

  1. ↑ La fórmula de Cauchy només s'aplica als nombres naturals perquè el factorial només es defineix per a ells. La integral de Riemann-Liouville permet la integració múltiple no només per als nombres reals sinó també per als nombres complexos utilitzant ( n − 1 ) ! {\displaystyle (n-1)!} substituït per Γ ( n ) {\displaystyle \Gamma (n)} on Γ {\displaystyle \Gamma } denota la funció gamma: I α f ( x ) = 1 Γ ( α ) ∫ a x f ( t ) ( x − t ) α − 1 d t {\displaystyle I^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{x}f(t)(x-t)^{\alpha -1}\,dt} .

Referències

  • Beardon, Alan. «Fractional calculus II» (en anglès). Universitat de Cambridge, 2000.
  • Cauchy, Augustin Louis. «Trente-Cinquième Leçon». A: Résumé des leçons données à l’Ecole royale polytechnique sur le calcul infinitésimal (en francès). París: Imprimerie Royale, 1823. 
  • Folland, Gerald B. Advanced Calculus (en anglès). Prentice Hall, 2002, p. 193.