En matemàtiques, la funció zeta de Lerch, de vegades anomenada funció zeta de Hurwitz-Lerch, és una funció especial que generalitza la funció zeta de Hurwitz i el polilogaritme. Porta el nom del matemàtic txec Matyáš Lerch (1860-1922)[1]
Definició
La funció zeta de Lerch ve donada per
Una funció relacionada, el transcendent de Lerch, ve donada per
Les dues funcions estan relacionats, tal com
Representacions integrals
Una representació integral ve donada per
per a
Una representació integral de contorn ve donada com
per a
on el contorn no ha de tancar cap dels punts
Hi ha una representació integral semblant a l'integral d'Hermite
per a
i
per a
Representacions semblants incluen
i
sostenint per z positiu (i més generalment allà on conflueixen les integrals). A més,
Aquesta última fórmula també es coneix com a fórmula de Lipschitz.
Casos especials
La funció zeta de Hurwitz és un cas especial, donat per
El polilogaritme és un cas especial de la funció zeta de Lerch, donat per
La funció khi de Legendre és un cas especial, donat per
La funció zeta de Riemann ve donada per
La funció eta de Dirichlet ve donada per
Identitats
Per a λ racional, la suma és una arrel de la unitat, i per tant es pot expressar com una suma finita sobre la funció zeta de Hurwitz. Suposem amb i . Llavors i .
Diverses identitats inclouen:
i
i
Representacions en sèries
Una representació en sèries per al transcendent de Lerch ve donada per
(Vegeu que és un coeficient binomial).
La sèrie és vàlida per a totes s, i per a z complex amb Re(z)<1/2. Vegeu que hi ha una semblança general amb una representació en sèries similar per a la funció zeta de Hurwitz.
Arthur Erdélyi va donar una sèrie de Taylor al primer paràmetre. Es pot escriure com a la sèrie següent, que és vàlida per a:[2]
Si s és un nombre enter positiu, llavors
on és la funció digamma.
Una sèrie de Taylor amb una tercera variable ve donada per
on és el símbol de Pochhammer.
La sèrie a = -n ve donada per
Un cas especial per a n = 0 té la següent sèrie
on és el polilogaritme.
Una sèrie asimptòtica per a
per a , i
per a
Una sèrie asimptòtica en la funció gamma incompleta
per a
Expansió asimptòtica
La funció polilogarítmica es defineix com
Sigui
Per a i , una expansió asimptòtica de per a grans i fixes i és donada per
per a .[3]
Sigui
Fem que siguin els seus coeficients de Taylor a . Aleshores, per a solucions i ,
com .[4]
Programari
El transcendent de Lerch està implementat a LerchPhi in Maple.
Referències
- ↑ «Matyáš Lerch» (en anglès). Math Story.
- ↑ Johnson, B. R. «Generalized Lerch zeta-function» (en anglès). Pacific J. Math., 53(1), 1974, pàg. 189–193. DOI: 10.2140/pjm.1974.53.189.
- ↑ Ferreira, Chelo; López, José L. «Asymptotic expansions of the Hurwitz–Lerch zeta function» (en anglès). Journal of Mathematical Analysis and Applications, 298(1), Octubre 2004, pàg. 210–224. DOI: 10.1016/j.jmaa.2004.05.040.
- ↑ Cai, Xing Shi; López, José L. «A note on the asymptotic expansion of the Lerch's transcendent» (en anglès). Integral Transforms and Special Functions, 10-06-2019, pàg. 1–12. arXiv: 1806.01122. DOI: 10.1080/10652469.2019.1627530.
Bibliografia
- Apostol, T. M. Lerch's Transcendent (en anglès). Cambridge University Press: NIST Handbook of Mathematical Functions, 2010. ISBN 978-0-521-19225-5.
- Bateman, H.; Erdélyi, A. Higher Transcendental Functions ( PDF) (en anglès). I. New York: McGraw-Hill, 1953. «Vegeu § 1.11, "The function Ψ(z,s,v)", p. 27» Arxivat 2011-08-11 a Wayback Machine.
- Gradshteyn, Izrail Solomonovich; Ryzhik, Iosif Moiseevich; Geronimus, Yuri Veniaminovich; Tseytlin, Michail Yulyevich; Jeffrey, Alan. «9.55». A: Table of Integrals, Series, and Products (en anglès). Academic Press, 2015. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN 2014010276.
- Guillera, Jesus; Sondow, Jonathan «Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent» (en anglès). The Ramanujan Journal, 16(3), 2008, pàg. 247–270. arXiv: math.NT/0506319. DOI: 10.1007/s11139-007-9102-0.
- Jackson, M. «On Lerch's transcendent and the basic bilateral hypergeometric series ₂ψ₂» (en anglès). J. London Math. Soc., 25(3), 1950, pàg. 189–196. DOI: 10.1112/jlms/s1-25.3.189.
- Johansson, F.; Blagouchine, Ia. «Computing Stieltjes constants using complex integration» (en anglès). Mathematics of Computation, 88(318), 2019, pàg. 1829-1850. arXiv: 1804.01679. DOI: 10.1090/mcom/3401.
- Laurinčikas, Antanas; Garunkštis, Ramūnas. The Lerch zeta-function (en anglès). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2002. ISBN 978-1-4020-1014-9.
- Lerch, Matyáš «Note sur la fonction » ( PDF) (en francès). Acta Mathematica, 11(1–4), 1887, pàg. 19–24. DOI: 10.1007/BF02612318..
Enllaços externs
- Aksenov, Sergej V.; Jentschura, Ulrich D. «C and Mathematica Programs for Calculation of Lerch's Transcendent» (en anglès), 2002.
- Garunkstis, Ramunas. «Provides numerous references and preprints» (en anglès), 2005.
- Garunkstis, Ramunas. «Approximation of the Lerch Zeta Function» ( PDF) (en anglès).
- Weisstein, Eric W., «Lerch Transcendent» a MathWorld (en anglès).
- «§25.14, Lerch's Transcendent» (en anglès). NIST Digital Library of Mathematical Functions. National Institute of Standards and Technology, 2010.