Matriu de Vandermonde

Una Matriu de Vandermonde és, en àlgebra lineal, una matriu que presenta una progressió geomètrica a cada fila. Aquesta matriu rep el seu nom en honor del matemàtic francès del segle xviii Alexandre-Théophile Vandermonde.

Els índexs de la matriu de dimensió n×n estan descrits com V i , j = α i j − 1 {\displaystyle V_{i,j}=\alpha _{i}^{j-1}} per tots els índexs i i j d'1 a n, per tant pot descriure's explícitament com:

V = ( 1 α 1 α 1 2 … α 1 n − 1 1 α 2 α 2 2 … α 2 n − 1 1 α 3 α 3 2 … α 3 n − 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 α n α n 2 … α n n − 1 ) {\displaystyle V={\begin{pmatrix}1&\alpha _{1}&\alpha _{1}^{2}&\dots &\alpha _{1}^{n-1}\\1&\alpha _{2}&\alpha _{2}^{2}&\dots &\alpha _{2}^{n-1}\\1&\alpha _{3}&\alpha _{3}^{2}&\dots &\alpha _{3}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&\alpha _{n}&\alpha _{n}^{2}&\dots &\alpha _{n}^{n-1}\\\end{pmatrix}}}

o

V i , j = α i j − 1 {\displaystyle V_{i,j}=\alpha _{i}^{j-1}\,}

per tot índex i i j.[1] Com pot veure's, la primera columna està formada per uns (és a dir els nombres elevats a zero) i la segona columna està formada per una sèrie d'elements arbitraris (elevats a u). A la tercera columna hi ha els mateixos nombre elevats al quadrat, a la quarta elevats amb cub i a les següents columnes elevats a la potència de la columna anterior més u. D'aquesta manera, la columna n de la matriu té els nombres elevats a la potència n-1.

Referències

  1. ↑ Roger A. Horn and Charles R. Johnson (1991), Topics in matrix analysis, Cambridge University Press. See Section 6.1.

Vegeu també

  • Determinant de Vandermonde