Matriu de velocitat de transició

En teoria de la probabilitat, una matriu de velocitat de transició (també coneguda com a matriu d'intensitat^[1][2] o matriu generadora infinitesimal)^[3] és una matriu de nombres que descriuen la velocitat d'una cadena de Màrkov a temps continu que es mou entre els estats.

En una matriu de velocitat de transició Q (de vegades escrit A),^[4] l'element q_ij (per a i ≠ j) denota la velocitat de sortida i i d'arribada a l'estat j. Els elements diagonal q_ii es defineixen tal que

${\displaystyle q_{ii}=-\sum _{j\neq i}q_{ij}.}$

i per tant, les files de la matriu se sumen a zero.

Definició

Una matriu Q (q_ij) satisfà les següents condicions:^[5]

1. ${\displaystyle 0\leq -q_{ii}<\infty }$
2. ${\displaystyle 0\leq q_{ij}:\mathrm {for} \;i\neq j}$
3. ${\displaystyle \sum _{j}q_{ij}=0:\mathrm {for} \;\mathrm {all} \;i}$

Aquesta definició es pot interpretar com el laplacià d'un gràf ponderat dirigit, els vèrtexs dels quals corresponen als estats de la cadena de Màrkov.

Exemple

Una cua M/M/1, un model que compta el nombre de treballs en un sistema de cues amb arribades a la velocitat λ i serveis a la velocitat μ, té matriu de velocitat de transició

${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}-\lambda &\lambda \\\mu &-(\mu +\lambda )&\lambda \\&\mu &-(\mu +\lambda )&\lambda \\&&\mu &-(\mu +\lambda )&\lambda &\\&&&&\ddots \end{pmatrix}}.}$

Referències