Polinomi de Newton-Gregory

Donats els valors y 0 , y 1 , . . . , y n {\displaystyle y_{0},y_{1},...,y_{n}} d'una funció corresponents als (n+1) valors equidistants x 0 , x 1 , . . . , x n {\displaystyle x_{0},x_{1},...,x_{n}} de la variable, es busca un polinomi de grau n:

P n = a o + a 1 ( x − x 0 ) + a 2 ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) + . . . + a n ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) {\displaystyle P_{n}=a_{o}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})(x-x_{1})+...+a_{n}(x-x_{0})(x-{x_{1}})} que passi pels (n+1) parells de coordenades.[1]

Els coeficients a 0 , a 1 , a 2 , . . . , a n {\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},...,a_{n}} s'obtenen sometent la paràbola corresponent a P n ( x ) {\displaystyle P_{n}(x)} les n+1 condicions en les que passa pels punts A 0 , A 1 , . . . , A n {\displaystyle A_{0},A_{1},...,A_{n}} .

El polinomi de Gregory-Newton (ascendent) expressat formalment per:[2]

p n ( x ) = y 0 + x − x 0 h Δ y 0 + ( x − x 1 ) ⋅ ( x − x 0 ) 2 ⋅ h 2 Δ 2 y 0 + . . . + ( x − x n − 1 ) . . . ( x − x 1 ) ⋅ ( x − x 0 ) n ! ⋅ h n Δ n y 0 {\displaystyle p_{n}(x)=y_{0}+{\frac {x-x_{0}}{h}}\Delta y_{0}+{\frac {(x-x_{1})\cdot (x-x_{0})}{2\cdot h^{2}}}\Delta ^{2}y_{0}+...+{\frac {(x-x_{n-1})...(x-x_{1})\cdot (x-x_{0})}{n!\cdot h^{n}}}\Delta ^{n}y_{0}}

s'utilitza Normalment per trobar l'expressió del polinomi derivada, amb dades equidistants interpolades.

Referències

  1. ↑ Manuel Sadosky. Cálculo numérico y gráfico. 8ª edición, Buenos Aires
  2. ↑ Sadosky. Op. cit. Precedeix el nom de Gregory al de Newton