Polinomi quadràtic

En matemàtiques els polinomis quadràtics (o simplement polinomis de segon grau ) són aquells polinomis de grau dos. Alguns exemples són:

• ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$, a on ${\displaystyle a,b,c}$ són reals. Aquesta és coneguda com a funció quadràtica d'una variable.^[1]
• ${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F}$ a on A , B , C , D , E i F són nombres reals.

Aplicació en l'estudi de màxims i mínims

Els polinomis quadràtics són de molta utilitat en l'estudi local de funcions: S'empren com aproximacions de les funcions derivables i donen informació local de com és la funció.^[2] Per exemple, en l'estudi dels extrems d'una funció.

Exemple

Donada una funció ${\displaystyle f:(a-\varepsilon ,a+\varepsilon )\rightarrow \mathbb {R} }$ derivable dues vegades en tot l'interval ${\displaystyle (a-\varepsilon ,a+\varepsilon )}$, el seu desenvolupament de Taylor en el punt ${\displaystyle a}$ és

${\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\dfrac {f''(\xi )}{2!}}(x-a)^{2}}$

amb ${\displaystyle \xi \in (a,x)}$. Si la funció ${\displaystyle f}$ té un extrem en el punt ${\displaystyle a}$ llavors es satisfà que ${\displaystyle f'(a)=0}$. Ens queda doncs que la funció ${\displaystyle f}$ és igual a

${\displaystyle f(x)=f(a)+{\dfrac {f''(\xi )}{2!}}(x-a)^{2}}$.

Depenent del valor de la segona derivada tindrem, doncs, un màxim (${\displaystyle f''(\xi )<0}$) o un mínim (${\displaystyle f''(\xi )>0}$).

Vegeu també

• Equació quadràtica
• Funció quadràtica

Referències