Problema del sofà

En matemàtiques, el problema del sofà és un problema no resolt sobre una idealització bidimensional del trasllat d'una figura (el sofà) per un passadís en forma de L d'una unitat d'amplada. El problema consisteix en calcular la superfície màxima de la figura que pot superar l'obstacle de la cantonada de 90 graus sense ser aixecat del terra.^[1]

El problema, aparentment trivial, va ser proposat pel matemàtic canadenc Leo Moser el 1966, tot i que havia estat discutit informalment per altres matemàtics anteriorment,^[2] i des d'aleshores s'ha convertit en un dels més popular problemes no resolts.^[3]

És obvi que un sofà quadrat de costat ${\displaystyle 1}$ podria passar la cantonada essent arrossegat primer cap a la dreta i després cap a baix. Això dona una superfície de la figura de ${\displaystyle 1}$. Però també podria vencer l'obstacle una figura semicircular de radi ${\displaystyle 1}$, lo qual donaria una superfície de ${\displaystyle \pi /2=1,57}$.

El 1968, el matemàtic britànic John Hammersley va proposar una nova figura, de forma similar a un auricular telefònic antic, que consisteix en dos quarts de disc de radi ${\displaystyle 1}$ a banda i banda d'un rectangle d'${\displaystyle 1}$ per ${\displaystyle 4/\pi }$ del qual s'ha eliminat un mig disc de radi ${\displaystyle 2/\pi }$. Aquesta figura té una superfície de ${\displaystyle \pi /2+2/\pi \approx 2.2074}$.^[4]

Hammersley també va demostrar que no podien existir figures d'una superfície superior a ${\displaystyle 2{\sqrt {2}}\approx 2.8284}$ que complissin el requisit.^[5]

Tot això deixava el problema obert: podien existir altres figures de superfície més gran que la de Hammersley que també poguessin girar a la cantonada.

El 1992, el matemàtic Joseph Gerver,^[6] va obtenir una figura de superfície ${\displaystyle 2,2195}$, ampliant la figura de Hammersley i arrodonint-li les cantonades.

L'any 2018, amb un algorisme iteratiu i després de quasi cinc-centes hores de càlculs amb ordinador, els matemàtics Yoav Kallus i Dan Romik, van establir que el límit màxim de la superfície de la figura era de ${\displaystyle 2,37}$.^[7] Aquest últim, també va estudiar el cas d'una figura "ambidextra": una figura que pogués fer un gir a la dreta i, a continuació, un altre a l'esquerra.^[8]

Amb tot, el problema segueix obert.

• Croft, Hallard T.; Falconer, Kenneth; Guy, Richard K. Unsolved Problems in Geometry (en anglès). Springer, 2012. ISBN 978-0-387-97506-1. 
• Gerver, Joseph L. «On moving a sofa around a corner» (en anglès). Geometriae Dedicata, Vol. 42, Num. 3, 1992, pàg. 267-283. DOI: 10.1007/BF02414066. ISSN: 0046-5755.
• Kallus, Yoav; Romik, Dan «Improved upper bounds in the moving sofa problem» (en anglès). Advances in Mathematics, Vol. 340, 2018, pàg. 960-982. DOI: 10.1016/j.aim.2018.10.022. ISSN: 0001-8708.
• Romik, Dan «Differential Equations and Exact Solutions in the Moving Sofa Problem» (en anglès). Experimental Mathematics, Vol. 27, Num. 3, 2018, pàg. 316-330. DOI: 10.1080/10586458.2016.1270858. ISSN: 1058-6458.
• Stewart, Ian. «16. Sofa, So Good...». A: Another Fine Math You've Got Me Into (en anglès). Dover, 1992. ISBN 978-0-4861-5078-9. 
• Wagner, Neal R. «The Sofa Problem» (en anglès). The American Mathematical Monthly, Vol. 83, Num. 3, 1976, pàg. 188-189. DOI: 10.2307/2977022. ISSN: 0002-9890.

• Barral, Miguel. «Érase una vez un sofá en un pasillo…» (en castellà). BBVA Open Mind, 2017. [Consulta: 2 març 2023].
• Weisstein, Eric W. «Moving Sofa Problem» (en anglès). MathWorld--A Wolfram Web Resource. [Consulta: 2 març 2023].
• «Moving Sofa Constant» (en anglès). Mathcad Library. Arxivat de l'original el 7 de gener 2008. [Consulta: 3 març 2023].