Vector aleatori

En Probabilitat i Estadística, molt sovint al resultat que s'obté en un experiment aleatori o un estudi estadístic se li associem diversos nombres; per exemple, triem una persona a l'atzar i en mesurem el pes i l'alçada: tenim així dues mesures, ${\displaystyle X_{1}}$ i ${\displaystyle X_{2}}$, que considerades conjuntament ${\displaystyle (X_{1},X_{2})}$ constitueixen un vector aleatori. Formalment, un vector aleatori ${\displaystyle d}$-dimensional és un vector ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})}$ tal que cada component ${\displaystyle X_{i},\ i=1,\dots ,d}$, és una variable aleatòria.

Definició

Nota. A la secció Exemples al final de l'article hi ha desenvolupats dos exemples amb vectors aleatoris bidimensionals que poden ser útils a les persones que prefereixin començar analitzant casos concrets.

Considerem un espai de probabilitat ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$. Un vector aleatori ${\displaystyle d}$-dimensional ^[1] és una aplicació ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d}):\Omega \to \mathbb {R} ^{d}}$ tal que cada component ${\displaystyle X_{i},\ i=1,\dots ,d}$ és una variable aleatòria. També s'anomena variable aleatòria ${\displaystyle d}$-dimensional.

Comentaris sobre les notacions.

1. Hem escrit el vector en fila,^[1] però en Estadística multivariant és molt freqüent escriure els vectors en columna,^[2] ja que es fan moltes operacions amb matrius i és més convenient seguir les normes estàndard de l'àlgebra lineal. En aquest article escriurem els vectors en fila, excepte a les seccions dedicades a l'esperança d'un vector aleatori i a la matriu de variàncies-covariàncies, i als exemples que tractem de lleis normals multidimensionals.
2. Per alleugerir les fórmules, s'utilitzen 'comes' com a interseccions; així, donats uns conjunts ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{d}}$ de ${\displaystyle \mathbb {R} }$,
   $${\displaystyle P(X_{1}\in A_{1},\dots ,X_{d}\in A_{d})=P{\big (}\{X_{1}\in A_{1}\}\cap \cdots \cap \{X_{d}\in A_{d}\}{\big )}.}$$

   
   O bé, en el cas discret que veurem a continuació, per ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{d}\in \mathbb {R} }$ s'escriu
   $${\displaystyle P{\big (}(X_{1},\dots ,X_{d})=(x_{1},\dots ,x_{d}){\big )}=P{\big (}X_{1}=x_{1},\dots ,X_{d}=x_{d}{\big )}=P{\big (}\{X_{1}=x_{1}\}\cap \cdots \cap \{X_{d}=x_{d}\}{\big )}.}$$

   

Vectors aleatoris discrets

Un vector aleatori ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})}$ es diu que es discret si només pot prendre un nombre finit o numerable de valors; en altres paraules, si existeix un conjunt finit o infinit numerable ${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{d}}$ tal que ${\displaystyle P({\boldsymbol {X}}\in S)=1}$.

S'anomena funció de probabilitat (a vegades s'afegeix conjunta) del vector o funció de repartiment de massa a la funció

Les distribucions de probabilitat de cadascuna de les components dels vector, ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{d}}$, o dels vectors ${\displaystyle (X_{i_{1}},\dots ,X_{i_{r}})}$, ${\displaystyle 1\leq i_{1}<\cdots <i_{r}\leq d}$, ${\displaystyle 1\leq r\leq d-1}$, s'anomenen distribucions marginals.

A partir de la funció de probabilitat del vector podem calcular totes les distribucions marginals sumant respecte les altres components: per exemple, per simplificar la notació, la funció de probabilitat de ${\displaystyle (X_{1},\dots ,X_{r})}$, on ${\displaystyle r\leq d-1}$, és

Exemple: Distribució multinomial

Considerem un experiment que pot tenir ${\displaystyle d}$ resultats diferents, que designarem per ${\displaystyle R_{1},\dots ,R_{d}}$, amb probabilitats ${\displaystyle p_{1},\dots ,p_{d}\in (0,1)}$, ${\displaystyle p_{1}+\cdots +p_{d}=1}$. Fem ${\displaystyle n}$ repeticions independents i denotem per ${\displaystyle X_{1}}$ el nombre de vegades que obtenim el resultat ${\displaystyle R_{1}}$, per ${\displaystyle X_{2}}$ el nombre de vegades que obtenim el resultat ${\displaystyle R_{2}}$, i així successivament. Aleshores la probabilitat d'obtenir ${\displaystyle x_{1}}$ vegades el resultat ${\displaystyle R_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$ vegades el resultat ${\displaystyle R_{2}}$, etc. amb ${\displaystyle x_{1}+\cdots +x_{d}=n}$ és

Es diu que el vector ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})}$ segueix una distribució multinomial ^[3] de paràmetres ${\displaystyle n,p_{1},\dots ,p_{d}}$, i s'escriu ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {M}}(n;p_{1},\dots ,p_{d})}$. Cal notar que cada component ${\displaystyle X_{i}}$ té una distribució binomial de paràmetres ${\displaystyle n}$ i ${\displaystyle p_{i}}$, ${\displaystyle X_{i}\sim B(n,p_{i})}$. De fet, una distribució multinomial és una extensió de la distribució binomial quan hi ha més de dos resultats possibles.

Per exemple, tenim una urna amb 4 boles blanques, 3 vermelles i 3 grogues. Traiem ${\displaystyle n=4}$ boles amb reemplaçament, és a dir, traiem una bola, anotem el color, la retornem a l'urna, en traiem una altra, etc. Designem per:

${\displaystyle X_{1}}$: nombre de boles blanques que traiem.

${\displaystyle X_{2}}$: nombre de boles vermelles que traiem.

${\displaystyle X_{3}}$: el nombre de boles grogues que traiem.

Aquí, ${\displaystyle p_{1}=0'4}$, ${\displaystyle p_{2}=0'3}$ i ${\displaystyle p_{3}=0'3}$. Llavors, la probabilitat de treure 1 bola blanca, 1 vermella i 2 grogues és

A partir d'aquí, podem calcular, per exemple, la distribució marginal del vector aleatori ${\displaystyle (X_{1},X_{3})}$ o la de la variable aleatòria ${\displaystyle X_{3}}$

Vectors aleatoris absolutament continus o amb funció de densitat

Es diu que un vector aleatori ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})}$ és absolutament continu, o senzillament continu, si existeix una funció ${\displaystyle f_{\boldsymbol {X}}:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} }$, anomenada funció de densitat (conjunta), que compleix

1. ${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{d})\geq 0,\ \ \forall (x_{1},\dots ,x_{d})\in \mathbb {R} ^{d}.}$

2.

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }f_{\boldsymbol {X}}(x_{1},\dots ,x_{d})\,dx_{1}\cdots dx_{d}=1.}$$

3. Per a qualsevol ${\displaystyle B\subset \mathbb {R} ^{d}}$ (en rigor ${\displaystyle B}$ ha de ser un conjunt de Borel de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$), tenim

$${\displaystyle P{\big (}(X_{1},\dots ,X_{d})\in B{\big )}=\int \cdots \int _{B}f_{\boldsymbol {X}}(x_{1},\dots ,x_{d})\,dx_{1}\cdots dx_{d}.}$$

En particular, si ${\displaystyle -\infty \leq a_{1}<b_{1}\leq \infty ,\dots ,-\infty \leq a_{d}<b_{d}\leq \infty }$, tenim

A partir de la funció de densitat conjunta pot calcular-se la funció de densitat de qualsevol vector ${\displaystyle (X_{i_{1}},\dots ,X_{i_{r}})}$, ${\displaystyle 1\leq i_{1}<\cdots <i_{r}\leq d}$, ${\displaystyle 1\leq r\leq d-1}$, que s'anomena la densitat marginal; per exemple, la densitat marginal de ${\displaystyle (X_{1},\dots ,X_{r})}$, amb ${\displaystyle 1\leq r\leq d-1}$ és

Exemple: distribució normal multidimensional

Un vector aleatori ${\displaystyle d}$-dimensional amb funció de densitat

es diu que té una llei normal multidimensional o multivariada, ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{d}({\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {I}}_{d})}$ on ${\displaystyle {\boldsymbol {I}}_{d}}$ és la matriu identitat. Cada component del vector té una distribució normal estàndard ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$ .

Vegeu els vectors aleatoris normals multidimensionals generals ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{d}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}$ als exemples de la secció Funcions d'un vector aleatori amb densitat.

Funcions de distribució multidimensional

La funció de distribució d'un vector aleatori^[1] ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})}$ és la funció ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{d}\to [0,1]}$ definida per

Si el vector aleatori ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ té funció de densitat ${\displaystyle f}$, aleshores la funció de distribució del vector és

Si la funció de densitat ${\displaystyle f}$ és contínua en el punt ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{d})}$, aleshores ^[4]

Variables aleatòries independents

Recordem que es diu que les variables aleatòries ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{k}}$ són independents si per a qualsevol conjunts ${\displaystyle B_{1},\dots ,B_{k}\subset \mathbb {R} }$ (en rigor, conjunts de Borel de ${\displaystyle \mathbb {R} }$),

Designem per ${\displaystyle F_{(X_{1},\dots ,X_{k})}}$ la funció de distribució del vector ${\displaystyle (X_{1},\dots ,X_{k})}$, i per ${\displaystyle F_{X_{1}},\dots ,F_{X_{k}}}$ les funcions de distribució de les variables aleatòries ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{k}}$ (marginals). Aleshores ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{k}}$ són independents si i només si

En el cas discret la independència equival a que la funció de probabilitat conjunta sigui igual al producte de marginals: ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{k}}$ són independents si i només si

En el cas absolutament continu, la propietat d'independència equival a que la densitat conjunta sigui igual al producte de marginals: ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{k}}$ són independents si i només si

Per exemple, en el cas de la distribució normal multidimensional que hem comentat, les distribucions marginals de les diferents components són lleis normals estàndard: tenim que per a ${\displaystyle j=1,\dots ,d}$,

Llavors és clar que es compleix la condició anterior i, per tant, les variables ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{d}}$ són independents.

Vectors aleatoris independents

Considerem ${\displaystyle k}$ vectors aleatoris, que poden ser de dimensions diferents: ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}_{1}=(X_{11},\dots ,X_{1j_{1}}),\dots ,{\boldsymbol {X}}_{k}=(X_{k1},\dots ,X_{kj_{k}})}$. Es diu que són independents si per qualsevol ${\displaystyle B_{1}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{j_{1}}),\dots ,B_{k}\subset {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{j_{k}})}$, on ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{r})}$ és la ${\displaystyle \sigma }$-àlgebra de Borel sobre ${\displaystyle \mathbb {R} ^{r}}$,

Les caracteritzacions de la independència de variables aleatòries en els casos discret i continus es trasllada al cas de vectors aleatoris.

Esperança d'una funció d'un vector aleatori

Sigui ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})}$ un vector aleatori i ${\displaystyle h:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} }$ una funció (mesurable), tenim que ${\displaystyle h({\boldsymbol {X}})}$ és una variable aleatòria de la qual podrem calcular l'esperança quan ${\displaystyle E[\vert h({\boldsymbol {X}})]<\infty }$. Si ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ és discret, aleshores

sempre que Si ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ és absolutament continu, aleshores sempre que Naturalment, si tenim una funció ${\displaystyle h:\mathbb {R} ^{r}\to \mathbb {R} }$ que només fa intervenir una part de ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$, posem ${\displaystyle (X_{i_{1}},\dots ,X_{i_{r}})}$, amb, ${\displaystyle 1\leq i_{1}<\cdots <i_{r}\leq r}$, ${\displaystyle 1\leq r\leq d-1}$, aleshores l'esperança de ${\displaystyle h(X_{i_{1}},\dots ,X_{i_{r}})}$ es calcula utilitzant la distribució marginal d'aquest vector.

Moments d'un vector aleatori

Considerem un vector aleatori ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})}$ i siguin ${\displaystyle n_{1}\geq 0,\dots ,n_{d}\geq 0}$. Es diu que ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ té moment d'ordre ${\displaystyle (n_{1},\dots ,n_{d})}$ si ${\displaystyle E{\big [}{\big \vert }X_{1}^{n_{1}}\cdots X_{d}^{n_{d}}{\big \vert }{\big ]}<\infty }$, i, en aquest cas, es defineix el moment d'ordre ${\displaystyle (n_{1},\dots ,n_{d})}$ (alguns autors diuen moment mixt)^[5] per

D'acord amb les fórmules que hem vist abans, si el vector és discret, aleshores Si el vector aleatori és absolutament continu,Tenim la següent propietat: Si ${\displaystyle E[\vert X_{j}\vert ^{m}]<\infty ,pera\ j=1,\dots ,d}$, aleshores per a ${\displaystyle n_{1}\geq 0,\dots ,n_{d}\geq 0,\ n_{1}+\cdots +n_{d}\leq m}$, tenim que ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})}$ té moment d'ordre ${\displaystyle (n_{1},\dots ,n_{d})}$.^[6]

Vegeu els moments factorials en la secció de la funció generatriu de probabilitats.

Esperança d'un vector aleatori

Totes les propietats d'aquesta secció i la següent es troben demostrades a Seber.^[7] Atès que farem operacions matricials, en aquesta secció i la següent escriurem tots els vectors en columna; en particular, escriurem en columna els elements de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$. Donada una matriu (o vector) ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$ designarem per ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}'}$ la seva transposada. Considerem un vector aleatori ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})'}$ tal que totes les seves components tinguin esperança. Aleshores es defineix l'esperança de ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ per

Propietats

1. Si ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}=(a_{1},\dots ,a_{d})'\in \mathbb {R} ^{d}}$, aleshores ${\displaystyle E[{\boldsymbol {a}}]={\boldsymbol {a}}.}$
2. Siguin ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ i ${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}}$ dos vectors aleatoris ${\displaystyle d}$ -dimensionals amb esperances finites, i ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ i ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ dues matrius d'ordre ${\displaystyle k\times d}$. Aleshores
   $${\displaystyle E[{\boldsymbol {AX}}+{\boldsymbol {BY}}]={\boldsymbol {A}}\,E[{\boldsymbol {X}}]+{\boldsymbol {B}}\,E[{\boldsymbol {Y}}].}$$

   

Matriu de variàncies-covariàncies

Continuem escrivint tots els vectors en columna. Si totes les components del vector ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ tenen variància, aleshores es defineix la seva matriu de variàncies-covariàncies o matriu de dispersió:

Atès que ${\displaystyle {\text{Var}}(X_{j})={\text{Cov}}(X_{j},X_{j})}$, aquesta matriu també s'escriu

Propietats

1. Donat que ${\displaystyle {\text{Cov}}(X_{i},X_{j})={\text{Cov}}(X_{j},X_{i})}$, la matriu ${\displaystyle {\boldsymbol {V}}({\boldsymbol {X}})}$ es simètrica.

2. La matriu ${\displaystyle {\boldsymbol {V}}({\boldsymbol {X}})}$ és semidefinida positiva, ja que per qualsevol ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=(x_{1},\dots ,x_{d})'\in \mathbb {R} ^{d}}$,

A més, el determinant de la matriu ${\displaystyle {\boldsymbol {V}}({\boldsymbol {X}})}$ és 0 si i només si hi ha una relació lineal entre les variables ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{d}}$, això és, existeixen escalars ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{d+1}\in \mathbb {R} }$, no tots nuls, tals que

3. Si ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ és un vector ${\displaystyle d}$ -dimensional, ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ una matriu ${\displaystyle k\times d}$ i ${\displaystyle {\boldsymbol {b}}\in \mathbb {R} ^{k}}$, aleshores

$${\displaystyle {\boldsymbol {V}}({\boldsymbol {AX}}+{\boldsymbol {b}})={\boldsymbol {A}}\,{\boldsymbol {V}}({\boldsymbol {X}}){\boldsymbol {A}}'.}$$

Exemples

1. Sigui ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})'\sim {\mathcal {M}}(n;p_{1},\dots ,p_{d})}$. Aleshores, donat que cada component ${\displaystyle X_{j}}$ té una distribució binomial ${\displaystyle B(n,p_{j})}$,

També tenim que ${\displaystyle {\text{Var}}(X_{j})=np_{j}(1-p_{j}).}$ Per calcular les covariàncies cal utilitzar la marginal de ${\displaystyle (X_{i},X_{j})}$ i s'obté que (vegeu els exemples de la secció Funció característica). Així,

2. En el cas del vector normal multidimensional ${\displaystyle E[{\boldsymbol {X}}]={\boldsymbol {0}}}$. D'altra banda, ${\displaystyle {\text{Var}}(X_{j})=1}$ i, atès que les variables són independents, ${\displaystyle {\text{Cov}}(X_{i},X_{j})=0,\quad i\neq j}$. Llavors${\displaystyle {\boldsymbol {V}}({\boldsymbol {X}})={\boldsymbol {I}}_{d}.}$

Ampliació: Matriu de covariàncies entre dos vectors

En el que segueix és convenient introduir les matrius aleatòries que són matrius tals que les seves components són variables aleatòries. Sigui ${\displaystyle {\boldsymbol {Z}}}$ una d'aquestes matrius, de dimensions ${\displaystyle n\times m}$:

S'anomena esperança de la matriu aleatòria ${\displaystyle {\boldsymbol {Z}}}$ a la matriu Sigui ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ un vector aleatori ${\displaystyle d}$ -dimensional i ${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}}$ un vector aleatori ${\displaystyle k}$ -dimensional ambdós amb moments de segon ordre. S'anomena matriu de covariàncies de ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ i ${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}}$ a la matriu de dimensions ${\displaystyle d\times k}$ Propietats.

1. Si ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}={\boldsymbol {Y}}}$ aleshores la matriu de covariàncies coincideix amb la matriu de variàncies-covariàncies: ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}({\boldsymbol {X}},{\boldsymbol {X}})={\boldsymbol {V}}({\boldsymbol {X}}).}$
2. Si ${\displaystyle E[{\boldsymbol {X}}]={\boldsymbol {\alpha }}}$ i ${\displaystyle E[{\boldsymbol {Y}}]={\boldsymbol {\beta }}}$, aleshores
   $${\displaystyle {\boldsymbol {C}}({\boldsymbol {X}},{\boldsymbol {Y}})=E{\big [}({\boldsymbol {X}}-{\boldsymbol {\alpha }})({\boldsymbol {Y}}-{\boldsymbol {\beta }})'{\big ]}.}$$

   
3. En particular,
   $${\displaystyle {\boldsymbol {V}}({\boldsymbol {X}})=E{\big [}({\boldsymbol {X}}-{\boldsymbol {\alpha }})({\boldsymbol {X}}-{\boldsymbol {\alpha }})'{\big ]}=E{\big [}{\boldsymbol {X}}{\boldsymbol {X}}'{\big ]}-{\boldsymbol {\alpha }}{\boldsymbol {\alpha }}'.}$$

   
4. Siguin ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ i ${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}}$ dos vectors aleatoris de dimensions ${\displaystyle d}$ i ${\displaystyle k}$ respectivament i ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ i ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ matrius de dimensions ${\displaystyle n\times d}$ i ${\displaystyle m\times k}$ respectivament, aleshores
   $${\displaystyle {\boldsymbol {C}}({\boldsymbol {A}}X,{\boldsymbol {B}}Y)={\boldsymbol {A}}\,{\boldsymbol {C}}({\boldsymbol {X}},{\boldsymbol {Y}})\,{\boldsymbol {B}}'.}$$

   

Funció característica i altres transformades

Funció característica

La funció característica d'un vector aleatori ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})}$ és la funció ${\displaystyle \varphi :\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {C} }$ definida per

Les funcions característiques de les distribucions marginals es dedueixen fàcilment de la funció característica conjunta; per exemple, per simplificar les notacions, per a ${\displaystyle r=1,\dots ,d-1}$,

Propietats.^[8]

Unicitat. La funció característica determina la distribució del vector ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$; concretament, si ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ i ${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}}$ són dos vectors aleatoris, amb funcions característiques ${\displaystyle \varphi _{\boldsymbol {X}}}$ i ${\displaystyle \varphi _{\boldsymbol {Y}}}$ respectivament, tals que

aleshores ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ i ${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}}$ tenen la mateixa distribució (tenen la mateixa funció de distribució, o si són discrets tenen la mateixa funció de probabilitat, o si són absolutament continus tenen la mateix funció de densitat). La propietat recíproca evidentment també és certa.

Funció característica i independència. Els vectors aleatoris ${\displaystyle d}$-dimensionals ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {X}}_{k}}$ són independents si i només si

Funció característica i suma de vectors aleatoris independents. Siguin ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {X}}_{k}}$ vectors aleatoris ${\displaystyle d}$-dimensionals independents i posem Aleshores

Funció característica i moments. La següent propietat és especialment útil per a calcular els moments d'un vector aleatori: Si el vector aleatori ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})}$ compleix ${\displaystyle E{\big [}\Vert {\boldsymbol {X}}\Vert ^{m}{\big ]}<\infty }$, on ${\displaystyle \Vert X\Vert ={\sqrt {X_{1}^{2}+\cdots +X_{d}^{2}}}}$, aleshores la funció característica ${\displaystyle \varphi _{\boldsymbol {X}}}$ és de classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{m}}$ i per a ${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{d}\geq 0}$, ${\displaystyle \sum _{j=1}^{d}n_{j}\leq m}$,

Recíprocament, si la funció característica ${\displaystyle \varphi _{\boldsymbol {X}}}$ és de classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{m}}$ per a ${\displaystyle m}$ parell, aleshores el vector ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ té moments d'ordre ${\displaystyle (n_{1},\dots ,n_{d})}$ per qualsevol ${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{d}\geq 0}$, ${\displaystyle \sum _{j=1}^{d}n_{j}\leq m}$Exemple. Vector multinomial. Retornem al vector multinomial ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})\sim {\mathcal {M}}(n;p_{1},\dots ,p_{d})}$. La seva funció característica és El vector ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ té moments de tots els ordres perquè les seves components són variables aleatòries positives i afitades per ${\displaystyle n}$. Podem calcular ${\displaystyle E[X_{1}X_{2}]}$ de la següent manera: d'on Exemple: Vector normal multidimensional. El vector ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {I}}_{d})}$ té funció característica

Funció generatriu de moments

Sigui ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})}$ un vector aleatori. La funció

definida en aquells punts${\displaystyle (s_{1},\dots ,s_{d})\in \mathbb {R} ^{d}}$ on l'esperança de la dreta és finita, s'anomena funció generatriu de moments ^[9] de ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$. Atès que per qualsevol nombre real ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle e^{a}>0}$, sempre es pot calcular l'esperança de ${\displaystyle \exp\{s_{1}X_{1}+\cdots +s_{d}X_{d}\}}$, però pot donar infinit. Evidentment, sempre està definida en ${\displaystyle {\boldsymbol {0}}=(0,\dots ,0)}$ i ${\displaystyle M_{\bf {X}}({\boldsymbol {0}})=1}$. Quan està definida (o existeix) en un entorn de ${\displaystyle (0,\dots ,0)}$, aleshores té molt bones propietats i pot substituir la funció característica, amb l'avantatge que és una funció real i, per tant, més fàcil d'utilitzar; d'altra banda, en aquest cas, es pot estendre el domini de definició a un subconjunt de ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$.^[10]

Afortunadament, molts vectors aleatoris que apareixen habitualment en l'Anàlisi de la variància i en l'Anàlisi estadística multivariant tenen funció generatriu de moments,^[11] però no tots, tal com després veurem.

Alguns autors ^[10] anomenen transformada de Laplace la funció generatriu de moments; si el vector aleatori ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ només pren valors positius i té funció de densitat ${\displaystyle f_{\boldsymbol {X}}}$, aleshores

que, a part del signe de ${\displaystyle s_{1},\dots ,s_{d}}$, és la transformada de Laplace (multidimensional) de la funció ${\displaystyle f_{\boldsymbol {X}}}$.^[12]

Les tres propietats següents són especialment útils:

Unicitat.^[11] Si la funció generatriu de moments d'un vector aleatori està definida en un entorn de ${\displaystyle (0,\dots ,0)}$, aleshores determina unívocament la distribució d'aquest vector.

Independència.^[11] Siguin ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})}$ i ${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}=(Y_{1},\dots ,Y_{r})}$ dos vectors aleatoris tal que el vector ${\displaystyle ({\boldsymbol {X}},{\boldsymbol {Y}})}$ té funció generatriu de moments definida en un entorn de zero. Aleshores ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}\ {\text{i}}\ {\boldsymbol {Y}}}$ són independents si i només si

Moments.^[9] Si un vector aleatori ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})}$ té funció generatriu de moments en un entorn de ${\displaystyle (0,\dots ,0)}$, aleshores té moments de tots els ordres i

Exemples

1. Vector multinomial ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {M}}(n;p_{1},\dots ,p_{d})}$. La funció generatriu és
   $${\displaystyle M_{\boldsymbol {X}}(s_{1},\dots ,s_{d})={\big (}p_{1}e^{s_{1}}+\cdots p_{d}e^{s_{d}}{\big )}^{n},\ s_{1},\dots ,s_{d}\in \mathbb {R} .}$$

   
2. Vector normal multidimensional ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {I}}_{d})}$.
   $${\displaystyle M_{\boldsymbol {X}}(s_{1},\dots ,s_{d})=e^{(s_{1}^{2}+\cdots +s_{d}^{2})/2},\ s_{1},\dots ,s_{d}\in \mathbb {R} .}$$

   
3. Vectors aleatoris sense funció generatriu de moments. Segons hem comentat, un vector aleatori amb funció generatriu de moments en un entorn de ${\displaystyle (0,\dots ,0)}$ té moments de tots els ordres. Per tant, qualsevol vector que contingui alguna component que no tingui moments de qualsevol ordre no tindrà funció generatriu de moments. Per exemple, una distribució ${\displaystyle t}$-multidimensional.^[13]

Funció generatriu de probabilitats

Sigui ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})}$ un vector aleatori que només prengui valors naturals (zero inclòs), amb funció de probabilitats ${\displaystyle p_{\boldsymbol {X}}}$. S'anomena funció generatriu de probabilitats ^[5] a la funció

(Amb el conveni ${\displaystyle 0^{0}=1}$). La sèrie de la dreta és una sèrie de potències multidimensional, que és absolutament convergent per a ${\displaystyle (s_{1},\dots ,s_{d})\in [-1,1]^{d}}$, ja que. A vegades la regió de convergència és més gran que ${\displaystyle [-1,1]^{d}}$. Alguns autors defineixen aquesta funció per al camp complex, ja que la sèrie és absolutament convergent per a ${\displaystyle {\boldsymbol {z}}=(z_{1},\dots ,z_{d})\in \mathbb {C} ^{d}}$, amb ${\displaystyle \vert z_{1}\vert \leq 1,\dots ,\vert z_{d}\vert \leq 1}$ i potser en conjunts més grans de ${\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}$.

La funció generatriu de probabilitats està relacionada amb la funció generatriu de moments per la fórmula:

Aquesta funció s'utilitza molt en situacions on intervenen vectors aleatoris que només prenen valors naturals, com els processos de ramificació.^[14]

Propietats.^[14]

1. La funció ${\displaystyle G_{\boldsymbol {X}}}$ és contínua i infinitament diferenciable en ${\displaystyle (-1,1)^{d}}$.

2. Fórmula d'inversió i unicitat. La funció de probabilitat del vector ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ es pot recuperar a partir de la funció generatriu de probabilitat:

$${\displaystyle p_{\boldsymbol {X}}(x_{1},\dots ,x_{d})={\frac {1}{x_{1}!\cdots x_{d}!}}\,{\frac {\partial ^{x_{1}+\cdots +x_{d}}G_{\boldsymbol {X}}(s_{1},\dots ,s_{d})}{\partial s_{1}^{x_{1}}\cdots \partial s_{d}^{x_{d}}}}{\big \vert }_{s_{1}=0,\dots ,s_{d}=0},\quad (x_{1},\dots ,x_{d})\in \mathbb {N} ^{d}.}$$

En conseqüència, la funció generatriu de probabilitats determina la distribució del vector ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$.

3. Moments factorials. Per a ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ i ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$, designem per ${\displaystyle x^{\underline {k}}}$ el factorial decreixent:^[15]

$${\displaystyle x^{\underline {k}}=x(x-1)\cdots (x-k+1).}$$

Noteu que si ${\displaystyle x\in \mathbb {N} }$ i ${\displaystyle k\geq x+1}$, llavors ${\displaystyle x^{\underline {k}}=0}$. S'anomena moment factorial ^[16] d'ordre ${\displaystyle (n_{1},\dots ,n_{d})}$ del vector${\displaystyle {\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})}$ a

Aleshores, aquesta esperança és finita si i només si^[14] i en aquest cas,

4. Suma de vectors aleatoris independents. Siguin ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})}$ i ${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}=(Y_{1},\dots ,Y_{d})}$ dos vectors aleatoris que només prenen valors naturals. Aleshores

$${\displaystyle G_{{\boldsymbol {X}}+{\boldsymbol {Y}}}({\boldsymbol {s}})=G_{\boldsymbol {X}}({\boldsymbol {s}})\,G_{\boldsymbol {Y}}({\boldsymbol {s}}).}$$

Exemple. Vector multinomial ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {M}}(n;p_{1},\dots ,p_{d})}$. La funció generatriu de probabilitat és

Funcions d'un vector aleatori amb densitat

Les transformacions d'un vector aleatori són especialment importants tant en la teoria com en les aplicacions, i és molt convenient disposar d'eines per determinar la distribució del vector transformat a partir de l'inicial. Si ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ és un vector aleatori ${\displaystyle d}$-dimensional amb funció de densitat i ${\displaystyle h:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ^{d}}$ és una bona funció, aleshores ${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}=h({\boldsymbol {X}})}$ també té funció de densitat i hi ha fórmules per calcular-la. De fet, si el vector ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ està concentrat en un subconjunt ${\displaystyle U}$, és a dir, si ${\displaystyle P({\boldsymbol {X}}\in U)=1}$, aleshores la funció ${\displaystyle {\boldsymbol {h}}}$ només ha d'estar definida en aquest conjunt.

Propietat.^[17] Sigui ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ un vector aleatori amb funció de densitat conjunta ${\displaystyle f_{\boldsymbol {X}}({\boldsymbol {x}})}$. Suposem que ${\displaystyle P({\boldsymbol {X}}\in U)=1}$ on ${\displaystyle U}$ és un conjunt obert de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$. Sigui ${\displaystyle h=(h^{(1)},\dots ,h^{(d)}):U\to V,}$ on ${\displaystyle V}$ és un obert de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$, ${\displaystyle h}$ bijectiva de classe ${\displaystyle {\cal {C}}^{1}}$, amb determinant jacobià no nul sobre ${\displaystyle U}$:

Designem la inversa de ${\displaystyle h}$ per ${\displaystyle g=(g^{(1)},\dots ,g^{(d)})}$. Aleshores el vector aleatori ${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}=h({\boldsymbol {X}})}$ és absolutament continu amb densitat

Exemple. Vector aleatori normal multidimensional. En aquest exemple escriurem tots els vectors en columna. Sigui ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})'\sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {I}}_{d})}$ un vector aleatori normal multidimensional com el que hem introduït anteriorment. Considerem una matriu ${\displaystyle d\times d}$ definida positiva ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$ i un vector ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}\in \mathbb {R} ^{d}}$. Existeix ^[18] una única matriu definida positiva^[19] ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{1/2}}$ tal que ${\displaystyle ({\boldsymbol {\Sigma }}^{1/2})^{2}={\boldsymbol {\Sigma }}}$. Definim el vector ${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}}$ per

Així, l'aplicació que estem considerant és ${\displaystyle h:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ^{d}}$ donada per Noteu que ${\displaystyle U=V=\mathbb {R} ^{d}}$.

L'aplicació inversa és

on ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{-1/2}}$ és la matriu inversa de ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{1/2}}$. La matriu jacobiana de ${\displaystyle g}$ és ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{-1/2}}$, que té determinant diferent de zero a tot ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$. La densitat de ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ és Llavors, la densitat de ${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}}$ és

Es diu que ${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}}$ té una llei normal multidimensional ${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}\sim {\mathcal {N}}_{d}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}$. D'acord amb les propietats que hem vist sobre el vector d'esperances i la matriu de variàncies-covariàncies tenim que

i

Extensió. La propietat anterior es pot estendre al cas que la funció ${\displaystyle h}$ es pugui descompondre en una funció bijectiva a trossos. Concretament tenim:^[20] Sigui ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ un vector aleatori ${\displaystyle d}$-dimensional, amb funció de densitat conjunta ${\displaystyle f_{\boldsymbol {X}}({\boldsymbol {x}})}$. Suposem que ${\displaystyle P\{{\boldsymbol {X}}\in U\}=1}$ amb ${\displaystyle U=U_{1}\cup \cdots \cup U_{k}}$, on ${\displaystyle U_{i}}$ són oberts de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ disjunts dos a dos. Sigui ${\textstyle h:\,U\longrightarrow \mathbb {R} ^{d},}$ tal que les restriccions ${\displaystyle h_{i}:U_{i}\longrightarrow V_{i}}$ són bijectives de classe ${\displaystyle {\cal {C}}^{1}}$ amb determinant jacobià no nul (els conjunts ${\displaystyle V_{1},\dots ,V_{k}}$ no cal que siguin disjunts dos a dos i, de fet, poden ser iguals). Designem per ${\displaystyle g_{i}:V_{i}\longrightarrow U_{i}}$ la inversa de ${\displaystyle h_{i}}$. Aleshores el vector aleatori ${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}=h({\boldsymbol {X}})}$ és absolutament continu amb densitat

on, ${\displaystyle {\boldsymbol {1}}_{V_{i}}}$ és la funció indicador del conjunt ${\displaystyle V_{i}}$:

Distribucions condicionades

Cas discret

Sigui ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})}$ un vector aleatori discret amb funció de probabilitat ${\displaystyle p_{\boldsymbol {X}}}$. Considerem una de les components del vector, per exemple, per simplificar les notacions, l'última, ${\displaystyle X_{d}}$, amb funció de probabilitat marginal ${\displaystyle p_{X_{d}}}$, i fixem ${\displaystyle x_{d}}$ tal que ${\displaystyle p_{X_{d}}(x_{d})>0}$. S'anomena distribució de ${\displaystyle (X_{1},\dots ,X_{d-1})}$ condicionada per ${\displaystyle X_{d}=x_{d}}$ a la probabilitat donada per la funció de probabilitat

Més generalment, per a ${\displaystyle 2\leq r\leq d,}$ podem considerar el vector ${\displaystyle (X_{r},\dots ,X_{d})}$ (per simplificar les notacions); fixat ${\displaystyle (x_{r},\dots ,x_{d})}$ tal que ${\displaystyle p_{X_{r},\dots ,X_{d}}(x_{r},\dots ,x_{d})>0}$, definim la distribució de ${\displaystyle (X_{1},\dots ,X_{r-1})}$ condicionada per ${\displaystyle X_{r}=x_{r},\dots ,X_{d}=x_{d}}$ a la probabilitat donada per la funció de probabilitat Exemple. Considerem un vector multinomial ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})\sim {\mathcal {M}}(n;p_{1},\dots ,p_{d})}$. Aleshores, fixat ${\displaystyle k\in \{0,\dots ,n\}}$, la distribució de ${\displaystyle (X_{1},\dots ,X_{d-1})}$ condicionada per ${\displaystyle X_{d}=k}$ és Per tant, ${\displaystyle (X_{1},\dots ,X_{d-1})}$ condicionat a ${\displaystyle X_{d}=k}$ té una distribució multinomial ${\displaystyle {\mathcal {M}}{\big (}n-k;p_{1}/(1-p_{k}),\dots ,p_{d-1}/(1-p_{k}){\big )}}$.

En general,^[21] fixats ${\displaystyle x_{r}\geq 0,\dots ,x_{d}\geq 0,}$ tals que ${\displaystyle x_{r}+\cdots +x_{d}\leq n}$, el vector ${\displaystyle (X_{1},\dots ,X_{r-1})}$ condicionat per ${\displaystyle X_{r}=x_{r},\dots ,X_{d}=x_{d}}$ té una distribució multinomial ${\displaystyle {\mathcal {M}}(n-m;p_{1}^{*},\dots ,p_{r-1}^{*})}$, on

Cas absolutament continu

Sigui ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})}$ un vector aleatori amb funció de densitat conjunta ${\displaystyle f_{\boldsymbol {X}}(x_{1},\dots ,x_{d})}$. Per a ${\displaystyle 2\leq r\leq d,}$ fixats ${\displaystyle x_{r},\dots ,x_{d}}$ tals que ${\displaystyle f_{X_{r},\dots ,x_{d}}(x_{r},\dots ,x_{d})>0}$, definim la densitat condicionada de ${\displaystyle (X_{1},\dots ,X_{r-1})}$ condicionada per ${\displaystyle X_{r}=x_{r},\dots ,X_{d}=x_{d}}$

Exemple. Vector normal multidimensional.. Sigui ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})'\sim {\mathcal {N}}_{d}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}$ un vector normal multidimensional (de nou aquí escriurem tots els vectors en columna), i ${\displaystyle 2\leq r\leq d}$. Escrivim

D'altra banda, partim la matriu ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$ de la següent manera: on ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{ij}={\boldsymbol {C}}({\boldsymbol {X}}_{i},{\boldsymbol {X}}_{j})}$. Noteu que ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{21}={\boldsymbol {\Sigma }}_{12}'}$. Aleshores,^[22] la distribució ${\displaystyle (X_{1},\dots ,X_{r-1})'}$ condicionada per ${\displaystyle X_{r}=x_{r},\dots ,X_{d}=x_{d}}$ (escrivim ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{2}=(x_{r},\dots ,x_{d})'}$) és normal mutidimensional ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{r-1}({\boldsymbol {\mu }}^{*},{\boldsymbol {\Sigma }}^{*})}$ on En particular, per a ${\displaystyle d=2}$, si posem tenim que ${\displaystyle X_{1}}$ condicionada per ${\displaystyle X_{2}=x_{2}}$ té una distribució normal ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ on

Exemples

Aquests exemples tracten de vectors aleatoris bidimensionals, que habitualment és denoten per ${\displaystyle (X,Y)}$ en lloc de ${\displaystyle (X_{1},X_{2})}$.

Exemple 1. Vector aleatori bidimensional discret

Tirem una moneda tres cops. El model probabilístic que prendrem és ${\displaystyle \Omega ={\big \{}{\text{(cara,cara,cara), (creu, cara, cara),...}}{\big \}}}$, que té 8 elements; ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ és la col·lecció de tots els subconjunts de ${\displaystyle \Omega }$, i ${\displaystyle P}$ assigna a tots els resultats la mateixa probabilitat 1/8. Siguin

${\displaystyle X}$: nombre de cares que surt.

${\displaystyle Y}$: diferència, en valor absolut, entre el nombre de cares i de creus.

Aleshores ${\displaystyle X}$ pot prendre els valors 0, 1, 2 o 3, i ${\displaystyle Y}$ pot valer 1 o 3. Llavors, el vector ${\displaystyle (X,Y)}$ pot prendre els valors (0,1), (0,3), (2,1), (2,3), (3,1) o (3,3). El conjunt

s'anomena el suport de la distribució del vector. Notem que ${\displaystyle P{\big (}(X,Y)\in S{\big )}=1.}$ Calculem les probabilitats que prengui cadascun dels valors del suport. Recordem que per alleugerir les fórmules s'utilitzen 'comes' en lloc d'interseccions):

${\displaystyle P{\big (}(X,Y)=(0,1){\big )}=P{\big (}X=0,Y=1{\big )}=P{\big (}\{X=0\}\cap \{Y=1\}{\big )}=P(\emptyset )=0}$.

${\displaystyle P{\big (}(X,Y)=(0,3){\big )}=P{\big (}{\text{(creu,creu,creu)}}{\big )}=1/8}$

${\displaystyle P{\big (}(X,Y)=(1,1){\big )}=P{\big (}{\text{(cara,creu,creu), (creu,cara,creu), (creu,creu,cara)}}{\big )}=3/8,}$ (noteu que l'ordre en què surten els resultats s'ha de tenir en compte).

I així successivament. De fet, els punts (0,1), (1,3), (2,3) i (3,1) es poden treure del suport, ja que tenen probabilitat zero, i per a certes fórmules és convenient fer-ho per evitar expressions sense sentit. La funció

s'anomena funció de probabilitat conjunta o funció de repartiment de massa del vector ${\displaystyle (X,Y)}$ . Quan hi ha un nombre petit de casos, com en aquest exemple, la funció de probabilitat s'acostuma a posar en una taula, anomenada taula de probabilitats conjuntes del vector i que determina la llei o distribució del vector.

Distribucions marginals

A partir d'aquesta taula, sumant per files o columnes, es dedueixen les funcions de probabilitat de les variables ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$, que denotem per ${\displaystyle p_{X}}$ i ${\displaystyle p_{Y}}$ i que s'anomenen distribucions marginals de ${\displaystyle X}$ i de ${\displaystyle Y}$ respectivament, o taules de probabilitats marginals:

Independència de variables aleatòries Recordem que dues variables aleatòries ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ es diu que són independents si per a qualsevol ${\displaystyle A,B\subset \mathbb {R} }$ (en rigor, conjunts de Borel ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$), els esdeveniments ${\displaystyle \{X\in A\}}$ i ${\displaystyle \{Y\in B\}}$ són independents, això és,Quan ambdues variables són discretes, aquesta condició es redueix a una sobre la funció de probabilitat conjunta: Les variables ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ són independents si i només si A l'exemple és evident que aquesta propietat no es compleix: per exemple,

Distribucions condicionades

Atès que l'esdeveniment ${\displaystyle \{Y=1\}}$ (obtenir exactament una cara) té probabilitat estrictament positiva, podem calcular les probabilitat condicionada:

Anàlogament,

Per tant, fixat ${\displaystyle Y=1}$, tenim definida una probabilitat sobre el conjunt ${\displaystyle \{0,1,2,3\}}$, de fet, només cal considerar el conjunt ${\displaystyle \{1,2\}}$, que s'anomena la distribució de ${\displaystyle X}$ condicionada per ${\displaystyle Y=1}$, per a la qual es dóna la funció de probabilitat condicionada i que es pot representar per la taula Anàlogament, tenim la distribució de condicionada per ${\displaystyle Y=3}$ donada a la següent taula: Esperança d'un vector. Es defineix l'esperança del vector ${\displaystyle (X,Y)}$ com el vector ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}[(X,Y)]=(E[X],E[Y])}$. Concretament, atès que tenim que ${\displaystyle E[(X,Y)]=(9/8,3/2)}$.

Matriu de variàncies-covariàncies d'un vector. La matriu

s'anomena matriu de variàncies-covariàncies o matriu de dispersió del vector ${\displaystyle (X,Y)}$. Tenim que De la mateixa manera es calcula que ${\displaystyle {\text{Var}}(Y)=3/2}$. Per calcular la covariància farem servir que Ara, per obtenir ${\displaystyle E[XY]}$, necessitem utilitzar la funció de probabilitat conjunta de ${\displaystyle (X,Y)}$: d'on, ${\displaystyle {\text{Cov}}(X,Y)=1/16}$. Així, la matriu de variàncies-covariàncies és

Exemple 2. Vector aleatori bidimensional continu

De manera anàloga al cas d'una variable aleatòria absolutament contínua, es diu que un vector ${\displaystyle (X,Y)}$ és absolutament continu si existeix una funció ${\displaystyle f_{(X,Y)}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$, anomenada funció de densitat (conjunta), que compleix

1. ${\displaystyle f_{(X,Y)}(x,y)\geq 0,\ \ \forall (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}.}$

2.

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f_{(X,Y)}(x,y)\,dx\,dy=1.}$$

3. Per qualsevol ${\displaystyle B\subset \mathbb {R} ^{2}}$ (en rigor, conjunt de Borel de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ,

Com exemple, sigui ${\displaystyle (X,Y)}$ un vector aleatori bidimensional amb distribució uniforme en el triangle ${\displaystyle T}$ de vèrtexs els punts (0,0), (1,0) i (1,1) (vegeu la Figura 1). La funció de densitat conjunta és

$${\displaystyle f_{(X,Y)}(x,y)={\begin{cases}2,&{\text{si}}\ (x,y)\in T,\\0,&{\text{en cas contrari.}}\end{cases}}}$$

La funció de densitat (marginal) de ${\displaystyle Y}$ es calcula per la fórmula:

${\displaystyle f_{Y}(y)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{(X,Y)}(x,y)\ dx}$

Ara cal distingir dos casos:

1. Fixada ${\displaystyle y\notin (0,1)}$, aleshores ${\displaystyle f_{(X,Y)}(x,y)=0,\ \forall x}$. És evident que ${\displaystyle f_{Y}(y)=0.}$

2. Fixada ${\displaystyle y\in (0,1)}$,

${\displaystyle f_{(X,Y)}(x,y)={\begin{cases}2,&{\text{si}}\ x\in (y,1),\\0,&{\text{en cas contrari.}}\end{cases}}}$

Llavors

${\displaystyle f_{Y}(y)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{(X,Y})(x,y)\,dx=\int _{y}^{1}2\,dx=2(1-y).}$

Ajuntant ambdós casos tenim, vegeu la Figura 2,

${\displaystyle f_{Y}(y)={\begin{cases}2(1-y),&{\text{si}}\ y\in (0,1),\\0,&{\text{en cas contrari.}}\end{cases}}}$

De manera anàloga s'obté que la densitat marginal de ${\displaystyle X}$ és, vegeu la Figura 3,

Ara podem calcular la densitat condicionada ${\displaystyle f_{X|Y}(x|y)}$, que només es calculara per a ${\displaystyle y\in (0,1)}$

${\displaystyle f_{X|Y}(x|y)={\frac {f_{(X,Y)}(x,y)}{f_{Y}(y)}}={\begin{cases}{\dfrac {1}{1-y}},&{\text{quan}}\ x\in (y,1),\\0,&{\text{en cas contrari}}.\end{cases}}}$

Vegeu la Figura 4. Noteu que els papers de ${\displaystyle x}$ i de ${\displaystyle y}$ són completament diferents. Fixada la ${\displaystyle y\in (0,1)}$ tenim una funció de densitat en ${\displaystyle x}$. De fet, en aquest cas, es tracta de la densitat d'una distribució uniforme en l'interval ${\displaystyle (y,1).}$

Per obtenir l'esperança del vector ${\displaystyle (X,Y)}$ s'ha de calcular l'esperança de cada component utilitzant les fórmules corresponents al cas absolutament contínu:

També, ${\displaystyle E[Y]=2/3}$. Així, ${\displaystyle E[{\boldsymbol {X}}]=(2/3,2/3)}$ .

El moment de segon ordre de ${\displaystyle X}$ és:

D'on

I el mateix dóna ${\displaystyle {\text{Var}}(Y)}$.

Finalment, per calcular la covariància,

Aleshores, Per tant, la matriu de variàncies covariàncies dóna

Notes