Eulerova diferenciální rovnice je speciálním případem rovnice s proměnnými koeficienty, kterou lze substitucí převést na lineární diferenciální rovnici s konstantními koeficienty řešitelnou explicitně. Alternativně lze zkoušet řešení tvaru [1].
Rovnice druhého řádu
Nejobvyklejší Eulerovou rovnicí je rovnice druhého řádu, která se objevuje v několika aplikacích ve fyzice a strojírenství, například při řešení Laplaceovy rovnice v polární souřadnicích. Je dána rovnice:[1]
Řešení pomocí zkušebních řešení
Zkoušíme řešení tvaru[1]
Zderivováním dostaneme:
a
Dosadíme do původní rovnice:
A upravíme na:
Tuto rovnici řešíme pro proměnnou m. Existují tři odlišné zajímavé případy:
Případ 1: Dva různé reálné kořeny m1 a m2
Případ 2: Jeden reálný vícenásobný kořen m
Případ 3: Komplexní kořeny α ± βi
V případě 1 má Eulerova rovnice řešení
V případě 2 má Eulerova rovnice řešení
Pro získání tohoto řešení je nutné po nalezení jednoho řešení y = xm použít metodu redukce řádu.
V případě 3 má Eulerova rovnice řešení
Pro a v reálné rovině
Tento tvar řešení odvodíme položením x = et a použitím Eulerova vzorce.
Jestliže kořeny jsou si rovné, obecné řešení je dáno vztahem
V obou případech lze řešení nalézt tak, že položíme , tedy .
To dává v prvním případě
,
ve druhém případě
Příklad
Řešíme rovnici
nahradíme jednoduché řešení xα:
Aby xα bylo řešení, platí buď x = 0, což dává triviální řešení, anebo koeficient u xα je nula. Řešením kvadratické rovnice dostaneme α = 1, 3. Obecné řešení je proto
Obdoba v diferenčních rovnicích
Eulerovy rovnice má obdobu v diferenčních rovnicích. Pro pevné m > 0, definujeme posloupnost ƒm(n) jako
Použitím diferenčního operátoru na dostaneme, že
Jestliže tento postup opakujeme k-krát, dostaneme
kde horní index (k) znamená k-násobné použití diferenčního operátoru. Srovnání tohoto s faktem, že k-tá derivace xm se rovná
nabízí možnost řešit diferenční rovnice N-tého řádu
podobným způsobem jako diferenciální rovnice. Skutečně substituce zkušebního řešení
dává stejný výsledek jako diferenciální rovnice
Nyní můžeme pokračovat jako v případě diferenciální rovnice, protože obecné řešení lineární diferenční rovnice N-tého řádu je také lineární kombinací Nlineárně nezávislých řešení. Použitím redukce řádu v případě více kořenů m1 dostaneme výrazy obsahující diskrétní verzi funkce ln,
(Srovnejte s: )
Pokud se vyskytnou zlomky, lze místo výše uvedeného použít funkci gama:
což se shoduje s výše uvedenou definicí pro celočíselné m.
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Cauchy–Euler equation na anglické Wikipedii.