Jednotková matice

V lineární algebře označuje pojem jednotková matice řádu n {\displaystyle n} čtvercovou matici n × n {\displaystyle n\times n} , která má na hlavní diagonále jedničky a na ostatních místech nuly. Jednotková matice řádu n {\displaystyle n} se značí I n {\displaystyle \mathbf {I} _{n}} [1] nebo E n {\displaystyle \mathbf {E} _{n}} [2]. Index je možné vynechat a psát jen I {\displaystyle \mathbf {I} } nebo E {\displaystyle \mathbf {E} } , je-li velikost nepodstatná nebo lze-li ji odvodit z kontextu. I 1 = E 1 = ( 1 ) ,   I 2 = E 2 = ( 1 0 0 1 ) ,   I 3 = E 3 = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) ,   ⋯ ,   I n = E n = ( 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ 0 0 ⋯ 0 1 ) {\displaystyle \mathbf {I} _{1}=\mathbf {E} _{1}={\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}},\ \mathbf {I} _{2}=\mathbf {E} _{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\ \mathbf {I} _{3}=\mathbf {E} _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}},\ \cdots ,\ \mathbf {I} _{n}=\mathbf {E} _{n}={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&1\end{pmatrix}}}

Vlastnosti

Jednotková matice je neutrálním prvkem vzhledem k součinu matic, tj. platí A I = A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}\mathbf {I} ={\boldsymbol {A}}} a I A = A {\displaystyle \mathbf {I} {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}} , kdykoli je příslušný součin matic definován.

Jednotková matice je regulární, protože je inverzní sama k sobě. Zároveň je symetrická i ortogonální. Nemění se umocňováním. Její odmocnina (tj. matice A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} splňující A 2 = I {\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{2}=\mathbf {I} } ) není jednoznačná. Odmocninou může být opět jednotková matice, ovšem existují také odmocniny nediagonální, např. ( 4 / 5 3 / 5 3 / 5 − 4 / 5 ) {\textstyle {\begin{pmatrix}4/5&3/5\\3/5&-4/5\\\end{pmatrix}}} i nesymetrické. [3]

Jednotková matice je speciálním případem diagonální matice.

Poznámky ke značení

Symbol I {\textstyle \mathbf {I} } pochází z angl. Identity matrix, doslova matice identity, coby identického zobrazení i d {\displaystyle \mathrm {id} } .

Naopak symbol E {\textstyle \mathbf {E} } má patrně původ v něm. Einheitsmatrix [4], což také souvisí s obvyklým značením neutrálního prvku v grupě symbolem e {\displaystyle e} . Sloupce jednotkové matice tvoří vektory standardní báze, které bývají často označovány e 1 , … , e n {\textstyle \mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}} . [2]

Řídce bývají používány symboly U {\textstyle \mathbf {U} } a 1 {\textstyle {\boldsymbol {1}}} [5] a jejich typografické varianty.

Coby dobře definovanou matematickou konstantu je možné vídat symbol jednotkové matice psán neskloněným písmem (antikvou), tedy I {\textstyle \mathbf {I} } , resp. E {\textstyle \mathbf {E} } , pro odlišení od skloněných symbolů užívaných pro proměnné matice A {\textstyle {\boldsymbol {A}}} . [2]

Odkazy

Reference

  1. ↑ Identity matrix. Encyclopedia of Mathematics [online]. EMS [cit. 2023-02-21]. Dostupné online. (anglicky) 
  2. ↑ a b c ČSN EN ISO 80000-2 (011300). Technické normy ČSN [online]. Technor [cit. 2023-02-19]. Dostupné online. 
  3. ↑ MITCHELL, Douglas W. 87.57 Using Pythagorean triples to generate square roots of I 2 {\displaystyle I_{2}} . The Mathematical Gazette. November 2003, s. 499–500. DOI 10.1017/S0025557200173723. JSTOR 3621289. Je zde použita šablona {{Cite journal}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.
  4. ↑ WEISSTEIN, Eric W. Identity Matrix [online]. [cit. 2020-08-14]. Dostupné online. (anglicky) Je zde použita šablona {{Cite web}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.
  5. ↑ MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

Literatura

  • Slovník školské matematiky. Praha: SPN, 1981. 240 s. 
  • BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198. 
  • BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
  • HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. S. 39. 
  • OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online.