L'Hospitalovo pravidlo

L'Hospitalovo pravidlo umožňuje za určitých předpokladů vypočítat limitu ve vlastním či nevlastním bodě podílu dvou reálných funkcí reálné proměnné v případě, že výpočet limity podílu vede na neurčitý výraz. Říká, že limita podílu dvou funkcí, které splňují jisté předpoklady, je rovna limitě podílu derivací těchto funkcí:

\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}

Pravidlo bylo poprvé publikováno matematikem Guillaumem de l'Hôpitalem v jeho knize Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes^[1], avšak objevitelem je pravděpodobně Johann Bernoulli, z jehož přednášek L'Hospital svou knihu sestavoval.

Předpoklady platnosti

Nenulovost funkcí ve jmenovateli

Funkce $g$ a $g'$ musí být nenulové na nějakém okolí čísla $a$ (jinak tvrzení nemá smysl z důvodu dělení nulou), pokud např. $a=+\infty$ , pak jeho okolím jsou množiny, které obsahují interval $(r,+\infty )$ pro nějaké $r$ , takže například funkce $g(x)=\sin x$ předpoklad nesplňuje.

Typ limity na levé straně

Musí platit právě jedna z uvedených podmínek:

$\lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}g(x)=0$

$\lim _{x\to a}f(x)=\pm \infty$ a $\lim _{x\to a}g(x)=\pm \infty$ .

Jinak řečeno, musí být buď obě limity nulové, nebo limita ve jmenovateli nevlastní. Tyto případy jsou nazývány limita typu ${\frac {0}{0}}$ resp. ${\frac {\pm \infty }{\pm \infty }}$ . Příkladem jsou funkce $f(x)=x+2$ a $g(x)=x+1$ , které tento předpoklad nesplňují. Limita jejich podílu v nule je rovna dvěma, ačkoli dle L'Hospitalova pravidla by vyšla jedna.

Existence limity na pravé straně

Musí existovat vlastní nebo nevlastní limita $\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ . Tento předpoklad je podstatný jen pro to, abychom z neexistence limity podílu derivací nevyvozovali neexistenci limity podílu původních funkcí. Příkladem jsou funkce $f(x)=x^{2}\sin {\frac {1}{x^{2}}}$ a $g(x)=x$ pro $x\to 0$ . Pro ně platí ${\frac {f'(x)}{g'(x)}}=2x\sin {\frac {1}{x^{2}}}-{\frac {2}{x}}\cos {\frac {1}{x^{2}}}$ , první člen jde k nule, ale druhý v blízkosti nuly osciluje mezi funkcí ${\frac {2}{x}}$ a $-{\frac {2}{x}}$ . Proto neexistuje limita podílu derivací, ale původní limita je rovna nule, což plyne z toho, že pro každé $x$ leží ${\frac {f(x)}{g(x)}}$ v intervalu $\langle -|x|,|x|\rangle$ .

Příklad

Určeme limitu $\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{2}-3}{x^{5}-6}}$ , tj. $f(x)=x^{2}-3$ a $g(x)=x^{5}-6$ .

Všechny předpoklady kromě posledního jsou splněny. Poslední není na první pohled zřejmý, je nutno ověřit existenci limity podílu prvních derivací uvedených funkcí $\lim _{x\to +\infty }{\frac {2x}{5x^{4}}}$ . Ověření provedeme opakovanou aplikací L'Hospitalova pravidla na limitu podílu prvních derivací uvedených funkcí , tj. limita podílu druhých derivací uvedených funkcí je pak $\lim _{x\to +\infty }{\frac {2}{20x^{3}}}=0$ . Z toho plyne, že jsou splněny předpoklady opakované aplikace L'Hospitalova pravidla, proto platí $\lim _{x\to +\infty }{\frac {2x}{5x^{4}}}=0$ . Teprve z toho plyne, že můžeme L'Hospitalovo pravidlo použít i na náš původní příklad a platí $\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{2}-3}{x^{5}-6}}=0$ .