Mocninná funkce

Grafy mocninných funkcí x2, x3 a −x−2

Mocninná funkce je elementární matematická funkce, jejíž hodnoty jsou přímo úměrné určité mocnině proměnné, tedy funkce tvaru

f : x ↦ a x r a , r ∈ R , {\displaystyle f\colon x\mapsto ax^{r}\qquad a,r\in \mathbb {R} ,}

kde a {\displaystyle a} a r {\displaystyle r} jsou konstanty a x {\displaystyle x} je proměnná. Konstanta r {\displaystyle r} se nazývá exponent.

Mocninná funkce, jejíž exponent r {\displaystyle r} je celé číslo nebo nula, je polynomiální funkce s nejvýše jedním nenulovým koeficientem.

Definiční obor

Definiční obor závisí na exponentu r {\displaystyle r} , konkrétně na jeho celočíselnosti (tj. zda r ∈ Z {\displaystyle r\in \mathbb {Z} } ) a znaménku podle následující tabulky.

r > 0 {\displaystyle r>0} r < 0 {\displaystyle r<0} r = 0 {\displaystyle r=0}
r ∈ Z {\displaystyle r\in \mathbb {Z} } R {\displaystyle \mathbb {R} } R ∖ { 0 } {\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}} R ∖ { 0 } {\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}} nebo R {\displaystyle \mathbb {R} } [pozn. 1]
r ∉ Z {\displaystyle r\notin \mathbb {Z} } R 0 + {\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}} R + {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}} —
  1. ↑ Obecně není výraz 00 definován. V případě mocninné funkce je však smysluplné jej dodefinovat vztahem 00 = 1, díky čemuž při r = 0 {\displaystyle r=0} se mocninná funkce zredukuje na konstantu f ( x ) = a {\displaystyle f(x)=a} s definičním oborem R {\displaystyle \mathbb {R} } .

Obor hodnot

Obor hodnot závisí na konstantě a {\displaystyle a} a exponentu r {\displaystyle r} .

r > 0 {\displaystyle r>0} r < 0 {\displaystyle r<0} r = 0 {\displaystyle r=0}
r {\displaystyle r} sudé
nebo ∉ Z {\displaystyle \notin \mathbb {Z} } 		r {\displaystyle r} liché r {\displaystyle r} sudé
nebo ∉ Z {\displaystyle \notin \mathbb {Z} } 		r {\displaystyle r} liché
a > 0 {\displaystyle a>0} R 0 + {\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}} R {\displaystyle \mathbb {R} } R + {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}} R ∖ { 0 } {\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}} { a } {\displaystyle \{a\}}
a < 0 {\displaystyle a<0} R 0 − {\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{-}} R {\displaystyle \mathbb {R} } R − {\displaystyle \mathbb {R} ^{-}} R ∖ { 0 } {\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}
a = 0 {\displaystyle a=0} { 0 } {\displaystyle \{0\}}

Externí odkazy

  • Logo Wikimedia Commons Obrázky, zvuky či videa k tématu mocninná funkce na Wikimedia Commons