Normální podgrupa

Normální podgrupa (známá také jako invariantní podgrupa nebo samokonjugovaná podgrupa)^[1] je v abstraktní algebře podgrupa, která je invariantní vůči konjugaci podle prvků grupy, jíž je částí. Jinými slovy podgrupa ${\displaystyle N}$ grupy ${\displaystyle G}$ je normální v ${\displaystyle G}$ právě tehdy, když ${\displaystyle gng^{-1}\in N}$ pro všechny ${\displaystyle g\in G}$ a ${\displaystyle n\in N}$. Že ${\displaystyle N}$ je normální podgrupou ${\displaystyle G}$ zapisujeme ${\displaystyle N\triangleleft G}$.

Význam normálních podgrup spočívá v tom, že normální podgrupy (a pouze normální podgrupy) lze použít pro vytvoření faktorové grupy ${\displaystyle G/N}$ dané grupy. Navíc jsou normální podgrupy grupy ${\displaystyle G}$ právě jádry grupových homomorfismů s definičním oborem ${\displaystyle G}$, což znamená, že je lze použít pro interní klasifikaci těchto homomorfismů.

První, kdo si uvědomil význam normálních podgrup, byl Évariste Galois.^[2]

Podgrupa ${\displaystyle N}$ grupy ${\displaystyle G}$ se nazývá normální podgrupa grupy ${\displaystyle G}$ (značíme ${\displaystyle N\triangleleft G}$), pokud je invariantní vůči konjugaci; tj. konjugace prvku podgrupy ${\displaystyle N}$ podle prvku grupy ${\displaystyle G}$ je vždy v ${\displaystyle N}$.^[3]

Pro libovolnou podgrupu ${\displaystyle N}$ grupy ${\displaystyle G}$ jsou následující podmínky ekvivalentní s tím, že ${\displaystyle N}$ je normální podgrupou grupy ${\displaystyle G}$. Proto libovolnou z nich můžeme použít jako definici normální podgrupy:

• Obraz konjugace podgrupy ${\displaystyle N}$ libovolným prvkem grupy ${\displaystyle G}$ je podmnožinou ${\displaystyle N}$,^[4] tj. ${\displaystyle gNg^{-1}\subseteq N}$ pro všechny ${\displaystyle g\in G}$.
• Obraz konjugace podgrupy ${\displaystyle N}$ libovolným prvkem grupy ${\displaystyle G}$ je roven ${\displaystyle N,}$^[4] tj. ${\displaystyle gNg^{-1}=N}$ pro všechny ${\displaystyle g\in G}$.
• Pro všechny ${\displaystyle g\in G}$ jsou si levé a pravé třídy ${\displaystyle gN}$ a ${\displaystyle Ng}$ rovné.^[4]
• Množiny levých a pravých tříd podgrupy ${\displaystyle N}$ v ${\displaystyle G}$ jsou stejné.^[4]
• Násobení v ${\displaystyle G}$ zachovává relaci ekvivalence „je ve stejné levé třídě jako“. Tj. pro každé ${\displaystyle g,g',h,h'\in G}$, které vyhovuje ${\displaystyle gN=g'N}$ a ${\displaystyle hN=h'N}$, platí ${\displaystyle (gh)N=(g'h')N}$.
• Existuje grupa na množina levých tříd podgrupy ${\displaystyle N}$ kde násobení libovolných dvou levých tříd ${\displaystyle gN}$ a ${\displaystyle hN}$ dává levou třídu ${\displaystyle (gh)N}$. Tato grupa se nazývá faktorová grupa grupy ${\displaystyle G}$ podle ${\displaystyle N}$ a značí se ${\displaystyle G/N}$.
• ${\displaystyle N}$ je sjednocením tříd konjugace grupy ${\displaystyle G}$.^[2]
• ${\displaystyle N}$ se zachovává vnitřními automorfismy grupy ${\displaystyle G}$.^[5]
• Existuje nějaký grupový homomorfismus ${\displaystyle G\to H}$ jehož jádro je ${\displaystyle N}$.^[2]
• Existuje grupový homomorfismus ${\displaystyle \phi :G\to H}$ jehož vlákna tvoří grupa kde neutrální prvek je ${\displaystyle N}$ a násobení libovolných dvou vláken ${\displaystyle \phi ^{-1}(h_{1})}$ a ${\displaystyle \phi ^{-1}(h_{2})}$ dává fiber ${\displaystyle \phi ^{-1}(h_{1}h_{2})}$ (tato grupa je tatáž grupa ${\displaystyle G/N}$ se zmínil výše).
• Existuje nějaká kongruence na ${\displaystyle G}$, jejíž třída ekvivalence neutrálního prvku je ${\displaystyle N}$.
• Pro všechny ${\displaystyle n\in N}$ a ${\displaystyle g\in G}$ je komutátor ${\displaystyle \langle n,g\rangle =n^{-1}g^{-1}ng}$ v ${\displaystyle N}$.^[zdroj?]
• Libovolné dva prvky komutují modulo relace příslušnosti k normální podgrupě.^[ujasnit] Tj. pro všechny ${\displaystyle g,h\in G}$ je ${\displaystyle gh\in N}$ právě tehdy, když ${\displaystyle hg\in N}$.^[zdroj?]

Pro libovolnou grupu ${\displaystyle G}$ je triviální podgrupa ${\displaystyle \{e\}}$ sestávající pouze z neutrálního prvku grupy ${\displaystyle G}$ vždy normální podgrupou grupy ${\displaystyle G}$. Podobně grupa ${\displaystyle G}$ samotná je vždy normální podgrupou grupy ${\displaystyle G}$ (pokud to jsou jediné normální podgrupy, pak o ${\displaystyle G}$ říkáme, že je jednoduchá).^[6] Jiný pojmenovaný normální podgrupy libovolné grupy zahrnuje centrum grupy (množina prvků, které komutují se všemi ostatními prvky) a komutátorová podgrupa ${\displaystyle \langle G,G\rangle }$.^[7][8] Obecněji, protože konjugace je izomorfismus, libovolná charakteristická podgrupa je normální podgrupou.^[9]

Pokud ${\displaystyle G}$ je Abelova grupa, pak každá podgrupa ${\displaystyle N}$ grupy ${\displaystyle G}$ je normální, protože ${\displaystyle gN=\{gn\}_{n\in N}=\{ng\}_{n\in N}=Ng}$. Obecněji pro libovolnou grupu ${\displaystyle G}$, každá podgrupa centra ${\displaystyle Z(G)}$ grupy ${\displaystyle G}$ je normální v ${\displaystyle G}$ (ve speciálním případě, když ${\displaystyle G}$ je Abelova je centrum grupy celé ${\displaystyle G}$, tedy fakt, že všechny podgrupy Abelovy grupa jsou normální). Grupa, které není Abelova, ale jejíž každá podgrupa je normální, se nazývá Hamiltonovská grupa.^[10]

Konkrétní příkladem normální podgrupy je podgrupa ${\displaystyle N=\{(1),(123),(132)\}}$ symetrických grup ${\displaystyle S_{3}}$, sestávající z neutrální a oba tři-cykly. Konkrétně, můžeme kontrolovat, že každá levá třída podgrupy ${\displaystyle N}$ je jak rovno ${\displaystyle N}$ samotný nebo je rovno ${\displaystyle (12)N=\{(12),(23),(13)\}}$. Na druhou stranu, podgrupa ${\displaystyle H=\{(1),(12)\}}$ není normální v ${\displaystyle S_{3}}$, protože ${\displaystyle (123)H=\{(123),(13)\}\neq \{(123),(23)\}=H(123)}$.^[11] To demonstruje obecný fakt, že libovolná podgrupa ${\displaystyle H\leq G}$ indexu dva je normální.

Jako příklad normální podgrupy v grupě matic uvažujme obecnou lineární grupu ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbf {R} )}$ všech invertovatelných matic ${\displaystyle n\times n}$ reálných čísel s operací násobení matic a její podgrupu ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )}$ všech matic ${\displaystyle n\times n}$ s determinantem 1 (speciální lineární grupa). Pro představu, proč podgrupa ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )}$ je normální v ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbf {R} )}$, uvažujme libovolnou matici ${\displaystyle X}$ v ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )}$ a libovolnou invertibilní matici ${\displaystyle A}$. Pak použitím dvou důležitých identit ${\displaystyle \det(AB)=\det(A)\det(B)}$ a ${\displaystyle \det(A^{-1})=\det(A)^{-1}}$ dostáváme, že ${\displaystyle \det(AXA^{-1})=\det(A)\det(X)\det(A)^{-1}=\det(X)=1}$, takže také ${\displaystyle AXA^{-1}\in \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )}$. To znamená, že ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )}$ je uzavřená vůči konjugaci v ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbf {R} )}$, takže je to normální podgrupa.^{[pozn. 1]}

V grupě Rubikovy kostky podgrupy sestávající z operace, které ovlivňují pouze orientace buď rohových kostiček nebo hranových kostiček, jsou normální.^[12]

Grupa posunutí je normální podgrupa Eukleidovy grupy v libovolné dimenzi.^[13] To znamená, že použitím shodného zobrazení následovaného posunutím a inverzním shodným zobrazením, má stejný efekt jako samotné posunutí. Naproti tomu podgrupa všech rotací okolo počátku není normální podgrupou Eukleidovské grupy pro dvou nebo vícerozměrný prostor: provedení translace následované rotací kolem počátku a opačnou translací typicky změní počátek souřadnicového systému, a proto dá jiný výsledek než samotná rotace kolem počátku.

• Pokud ${\displaystyle H}$ je normální podgrupa grupy ${\displaystyle G}$, a ${\displaystyle K}$ je podgrupa grupy ${\displaystyle G}$ obsahující ${\displaystyle H}$, pak ${\displaystyle H}$ je normální podgrupa grupy ${\displaystyle K}$.^[14]
• Normální podgrupa normální podgrupy grupy nemusí být normální v grupě. Čili normalita není Tranzitivní relace. Nejmenší grupa vykazující toto chování je Dihedrální grupa řádu 8.^[15] Charakteristická podgrupa normální podgrupy však je normální.^[16] Grupa, v niž je normalita tranzitivní, se nazývá T-grupa.^[17]
• Dvě grupy ${\displaystyle G}$ a ${\displaystyle H}$ jsou normální podgrupy jejich přímý součin ${\displaystyle G\times H}$.
• Pokud grupa ${\displaystyle G}$ je semidirektním součinem ${\displaystyle G=N\rtimes H}$, pak ${\displaystyle N}$ je normální v ${\displaystyle G}$, ale ${\displaystyle H}$ nemusí být normální v ${\displaystyle G}$.
• Pokud ${\displaystyle M}$ a ${\displaystyle N}$ jsou normální podgrupy aditivní grupy ${\displaystyle G}$ takové, že ${\displaystyle G=M+N}$ a ${\displaystyle M\cap N=\{0\}}$, pak ${\displaystyle G=M\oplus N}$.^[18]
• Surjektivní homomorfismy zachovávají normalitu;^[19] tj., pokud ${\displaystyle G\to H}$ je surjektivní grupový homomorfismus a ${\displaystyle N}$ je normální v ${\displaystyle G}$, pak obraz ${\displaystyle f(N)}$ je normální v ${\displaystyle H}$.
• Inverzní obraz zachovává normalitu; ^[19] tj., pokud ${\displaystyle G\to H}$ je grupový homomorfismus a ${\displaystyle N}$ je normální v ${\displaystyle H}$, pak inverzní obraz ${\displaystyle f^{-1}(N)}$ je normální v ${\displaystyle G}$.
• Direktní součin grup zachovává normalitu; ^[20] tj., pokud ${\displaystyle N_{1}\triangleleft G_{1}}$ a ${\displaystyle N_{2}\triangleleft G_{2}}$, pak ${\displaystyle N_{1}\times N_{2}\;\triangleleft \;G_{1}\times G_{2}}$.
• Každá podgrupa indexu 2 je normální. Obecněji podgrupa ${\displaystyle H}$ konečného indexu ${\displaystyle n}$ v ${\displaystyle G}$ obsahuje podgrupu ${\displaystyle K}$, která je normální v ${\displaystyle G}$ a jejíž index dělí ${\displaystyle n!}$, která se nazývá normální jádro. Speciálně pokud ${\displaystyle p}$ je nejmenší prvočíslo dělící řád grupy ${\displaystyle G}$, pak každá podgrupa indexu ${\displaystyle p}$ je normální.^[21]
• Skutečnost, že normální podgrupy grupy ${\displaystyle G}$ jsou právě jádra grupových homomorfismů definovaných na ${\displaystyle G}$, odpovídá za některé z významů normálních podgrup; jsou způsobem, jak interně klasifikovat všechny homomorfismy definované na grupě. Například neidentity konečné grupy je jednoduchá právě tehdy, když je izomorfní se všemi svými neidentickými homomorfními obrazy;^[22] konečná grupa je dokonalá právě tehdy, když nemá žádné normální podgrupy prvočíselného indexu; grupa je nedokonalá právě tehdy, když odvozená podgrupa nemá žádnou vlastní normální podgrupu.

Jsou-li ${\displaystyle N}$ a ${\displaystyle M}$ dvě normální podgrupy grupy ${\displaystyle G}$, jejich průnik ${\displaystyle N\cap M}$ a jejich součin ${\displaystyle NM=\{nm:n\in N\;\wedge \;m\in M\}}$ je také normální podgrupa grupy ${\displaystyle G}$.

Normální podgrupy grupy ${\displaystyle G}$ tvoří svaz s relací inkluze množin s nejmenším prvkem ${\displaystyle \{e\}}$ a největším prvkem ${\displaystyle G}$. Průsek dvou normálních podgrup ${\displaystyle N}$ a ${\displaystyle M}$ v tomto svazu je jejich průnik a spojení je jejich součin.

Svaz je úplný a modulární.^[20]

Pokud ${\displaystyle N}$ je normální podgrupa grupy ${\displaystyle G}$, je možné definovat násobení na levých třídách jako zobrazení ${\displaystyle G/N\times G/N\to G/N}$ takto:

${\displaystyle \left(a_{1}N\right)\left(a_{2}N\right):=\left(a_{1}a_{2}\right)N}$

Pro důkaz, že toto zobrazení je korektně definované, je třeba dokázat, že výsledek nezávisí na volbě reprezentantů ${\displaystyle a_{1},a_{2}}$. Za tímto účelem uvažujme jiné reprezentanty ${\displaystyle a_{1}'\in a_{1}N,a_{2}'\in a_{2}N}$. Pak existují ${\displaystyle n_{1},n_{2}\in N}$ takové, že ${\displaystyle a_{1}'=a_{1}n_{1},a_{2}'=a_{2}n_{2}}$. Odtud plyne, že

${\displaystyle a_{1}'a_{2}'N=a_{1}n_{1}a_{2}n_{2}N=a_{1}a_{2}n_{1}'n_{2}N=a_{1}a_{2}N,}$

kde využíváme také fakt, že ${\displaystyle N}$ je normální podgrupa, a proto existuje ${\displaystyle n_{1}'\in N}$ takové, že ${\displaystyle n_{1}a_{2}=a_{2}n_{1}'}$. Tím je dokázáno, že tento součin je korektně definovaným zobrazení mezi levými třídami.

Množina levých tříd s touto operací je grupou, kterou nazýváme faktorová grupa a značíme ${\displaystyle G/N.}$ Existuje přirozená projekce ${\displaystyle f:G\to G/N}$ daná vztahem ${\displaystyle f(a)=aN}$. Tato projekce převádí ${\displaystyle N}$ na neutrální prvek grupy ${\displaystyle G/N}$, což je levá třída ${\displaystyle eN=N}$,^[23] tj. ${\displaystyle \ker(f)=N}$.

Obecně, grupový homomorfismus ${\displaystyle f:G\to H}$ zobrazuje podgrupy grupy ${\displaystyle G}$ na podgrupy grupy ${\displaystyle H}$. Také vzor libovolné podgrupy grupy ${\displaystyle H}$ je podgrupou grupy ${\displaystyle G}$. Vzor triviální grupy ${\displaystyle \{e\}}$ v ${\displaystyle H}$ nazýváme jádrem homomorfismu a značíme ${\displaystyle \ker f}$. Lze ukázat, že jádro je vždy normální a obraz ${\displaystyle f(G)}$ grupy ${\displaystyle G}$ je vždy izomorfní s ${\displaystyle G/\ker f}$ (první věta o izomorfismu).^[24] Tato korespondence je bijekcí mezi množinami všech faktorových grup ${\displaystyle G/N}$ grupy ${\displaystyle G}$, a množinou všech homomorfních obrazů grupy ${\displaystyle G}$ (až na izomorfismus).^[25] Je také zřejmé, že jádrem faktorového zobrazení ${\displaystyle f:G\to G/N}$ je samotné ${\displaystyle N}$, takže normální podgrupy jsou právě jádry homomorfismů s definičním oborem ${\displaystyle G}$.^[26]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Normal subgroup na anglické Wikipedii.

Je zde použita šablona {{Refend}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.

• HERSTEIN, I. N., 1975. Topics ion algebra. 2. vyd. Lexington, Mass.-Toronto, Ont.: Xerox College Publishing. xi+388 s. 

• Normalizátor
• Konjugovaný uzávěr
• Normální jádro

• Malnormální podgrupa
• Kontranormální podgrupa
• Abnormální podgrupa
• Sebenormalizující podgrupa

• Charakteristická podgrupa
• Plně charakteristická podgrupa

• Subnormální podgrupa
• Ascendant podgrupa
• Descendant podgrupa
• Kvazinormální podgrupa
• Seminormální podgrupa
• Konjugovaná permutovatelná podgrupa
• Modulární podgrupa
• Pronormální podgrupa
• Paranormální podgrupa
• Polynormální podgrupa
• C-normální podgrupa

• Ideál (teorie okruhů)
• Ideál pologrupy

• Normální podgrupa v encyklopedii MathWorld (anglicky)
• Normal subgroup in Springer's Encyclopedia of Mathematics
• Robert Ash: Group Fundamentals in Abstract Algebra. The Basic Graduate Year
• Timothy Gowers, Normal subgroups and quotient groups
• John Baez, What's a Normal Subgroup?