Perfektní mocnina

ikona
Tento článek není dostatečně ozdrojován, a může tedy obsahovat informace, které je třeba ověřit.
Jste-li s popisovaným předmětem seznámeni, pomozte doložit uvedená tvrzení doplněním referencí na věrohodné zdroje.

Perfektní mocnina je číslo, které lze zapsat jako přirozenou mocninu jiného přirozeného čísla.

Formální definice: n {\displaystyle n\,\!} je perfektní mocnina, pokud existují přirozená čísla m > 1 {\displaystyle m>1\,\!} , a k > 1 {\displaystyle k>1\,\!} , pro která platí, že m k = n {\displaystyle m^{k}=n\,\!} .

Příklady a součty

Posloupnost takových mocnin může být generována pro možné hodnoty m a k. Příklad:[1]

2 2 = 4 , 2 3 = 8 , 3 2 = 9 , 2 4 = 16 , 4 2 = 16 , 5 2 = 25 , 3 3 = 27 , 2 5 = 32 , 6 2 = 36 , 7 2 = 49 , 2 6 = 64 , 4 3 = 64 , 8 2 = 64 , … {\displaystyle 2^{2}=4,\,2^{3}=8,\,3^{2}=9,\,2^{4}=16,\,4^{2}=16,\,5^{2}=25,\,3^{3}=27,\,2^{5}=32,\,6^{2}=36,\,7^{2}=49,\,2^{6}=64,\,4^{3}=64,\,8^{2}=64,\,\dots }

Vlastnosti

Součet

Součet převrácených hodnot takových čísel (každé číslo počítáme i s násobností, pokud ho lze vyjádřit více způsoby jako nk) je 1:

∑ m = 2 ∞ ∑ k = 2 ∞ 1 m k = 1. {\displaystyle \sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=1.}

Důkaz:

∑ m = 2 ∞ ∑ k = 2 ∞ 1 m k = ∑ m = 2 ∞ 1 m 2 ∑ k = 0 ∞ 1 m k = ∑ m = 2 ∞ 1 m 2 ( m m − 1 ) = ∑ m = 2 ∞ 1 m ( m − 1 ) = ∑ m = 2 ∞ ( 1 m − 1 − 1 m ) = 1 . {\displaystyle \sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\left({\frac {m}{m-1}}\right)=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m(m-1)}}=\sum _{m=2}^{\infty }\left({\frac {1}{m-1}}-{\frac {1}{m}}\right)=1\,.}

Goldbachova-Eulerova věta

Podle Eulera, Goldbach ukázal že součet 1 p − 1 {\displaystyle {\frac {1}{p-1}}} přes množinu perfektních mocnin p {\displaystyle p\,\!} , vyjma čísla 1 je 1:

∑ p 1 p − 1 = 1 3 + 1 7 + 1 8 + 1 15 + 1 24 + 1 26 + 1 31 + ⋯ = 1. {\displaystyle \sum _{p}{\frac {1}{p-1}}={{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{26}}+{\frac {1}{31}}}+\cdots =1.}

Známé jako Goldbachova-Eulerova věta.

Hledání celočíselných mocnin

Zjištění, zda n {\displaystyle n} je mocnina, může probíhat mnoha různými způsoby, s různou úrovní složitosti. Jednou z jednodušších metod je zvážit všechny možné hodnoty k {\displaystyle k} přes všechny dělitele n {\displaystyle n} , až do k ≤ log 2 ⁡ n {\displaystyle k\,\leq \,\log _{2}n} . Jestliže tedy dělitelé n {\displaystyle n} jsou n 1 , n 2 , … , n j {\displaystyle n_{1},\,n_{2},\,\dots ,\,n_{j}} pak jedna z hodnot n 1 2 , n 2 2 , … , n j 2 , n 1 3 , n 2 3 … {\displaystyle n_{1}^{2},\,n_{2}^{2},\,\dots ,\,n_{j}^{2},\,n_{1}^{3},\,n_{2}^{3}\,\dots } musí být rovna n {\displaystyle n} jestliže n {\displaystyle n} je mocnina.

Tato metoda může být zjednodušena pokud k {\displaystyle k} hodnoty jsou prvočísla. To protože pokud n = m k {\displaystyle n\,=\,m^{k}} pro složené číslo k = a p {\displaystyle k\,=\,ap} kde p {\displaystyle p} je prvočíslo, můžeme jednoduše přepsat jako n = m k = m a p = ( m a ) p {\displaystyle n\,=\,m^{k}\,=\,m^{ap}\,=\,(m^{a})^{p}} . Minimální hodnota k {\displaystyle k} je 2.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Powerful number na anglické Wikipedii.

  1. ↑ Posloupnost A072103 v databázi On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

Související články

Externí odkazy

  • PARADÍS, Jaume; VIADER, Pelegrí; BIBILONI, Lluís. On a Series of Goldbach and Euler. SSRN Electronic Journal [online]. 2004 [cit. 2021-05-29]. DOI 10.2139/ssrn.848586. 
  • Perfektní mocnina v encyklopedii MathWorld (anglicky)
  • Daniel J. Bernstein. Detecting perfect powers in essentially linear time. Mathematics of Computation. 1998, roč. 67, čís. 223, s. 1253–1283. Dostupné online. DOI 10.1090/S0025-5718-98-00952-1.