Fünfeckszahl

Ineinandergeschachtelte Fünfecke aus 22 Kugeln

Eine Fünfeckszahl oder Pentagonalzahl ist eine Zahl, die das Konzept der Dreiecks- und Quadratzahlen auf das regelmäßige Fünfeck erweitert. Allerdings ist das dabei entstehende Muster weit weniger symmetrisch als das der Dreiecks- und Quadratzahlen. Die n {\displaystyle n} -te Fünfeckszahl entspricht der Anzahl der Kugeln, die man zum Legen eines Musters mit n {\displaystyle n} regelmäßigen Fünfecken benötigt, die eine gemeinsame Ecke haben.

Für eine figural gleichmäßige Bedeckung siehe →Zentrierte Fünfeckszahl.

Die ersten (nicht zentrierten) Fünfeckszahlen sind

0, 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, … (Folge A000326 in OEIS)

Bei einigen Autoren ist die Null keine Fünfeckszahl, sodass die Zahlenfolge erst mit der Eins beginnt.

Die n {\displaystyle n} -te Fünfeckszahl lässt sich mit der Formel

n ( 3 n − 1 ) 2 {\displaystyle {\frac {n(3n-1)}{2}}}

berechnen.

Die wichtigste Aussage über Fünfeckszahlen ist der Pentagonalzahlensatz.

Fünfeckszahlen der zweiten Art

Setzt man für n {\displaystyle n} eine negative ganze Zahl ein, so bekommt man Fünfeckszahlen zweiter Art oder auch Kartenhauszahlen. Kartenhauszahlen deswegen, weil die Zahlen angeben, wie viele Karten benötigt werden, um ein Kartenhaus mit n {\displaystyle n} Etagen zu bauen.

n ( 3 n − 1 ) 2 = m ( 3 m + 1 ) 2 {\displaystyle {\frac {n(3n-1)}{2}}={\frac {m(3m+1)}{2}}} für m = − 1 ⋅ n {\displaystyle m=-1\cdot n} und n ≤ 0 {\displaystyle n\leq 0}

Die Folge der Kartenhauszahlen beginnt: 0 , 2 , 7 , 15 , 26 , 40 , 57 , … {\displaystyle 0,2,7,15,26,40,57,\dots } (Folge A005449 in OEIS)

Die Kartenhauszahlen lassen sich als Summe von Dreieckszahlen erzeugen:

Kartenhauszahlen als Summe von Dreieckszahlen
2 ⋅ m ( m + 1 ) 2 + ( m − 1 ) m 2 = m ( 3 m + 1 ) 2 {\displaystyle 2\cdot {\frac {m(m+1)}{2}}+{\frac {(m-1)m}{2}}={\frac {m(3m+1)}{2}}}

Weblinks

  • Kartenhauszahlen