Gronwallsche Ungleichung

Die gronwallsche Ungleichung ist eine Ungleichung, die es erlaubt, aus der impliziten Information einer Integralungleichung explizite Schranken herzuleiten. Des Weiteren ist sie ein wichtiges Hilfsmittel zum Beweis von Existenz- und Einschließungssätzen für Lösungen von Differential- und Integralgleichungen. Sie ist nach Thomas Hakon Grönwall benannt, der sie im Jahr 1919 bewies und in einer wissenschaftlichen Veröffentlichung beschrieb.

Formulierung

Gegeben seien ein Intervall $\ I:=[a,b]$ sowie stetige Funktionen $u,\alpha :I\rightarrow \mathbb {R}$ und $\beta :I\rightarrow [0,\infty )$ . Weiter gelte die Integralungleichung

u(t)\leq \alpha (t)+\int _{a}^{t}\beta (s)u(s){\rm {d}}s

für alle $t\in I$ . Dann gilt die gronwallsche Ungleichung

u(t)\leq \alpha (t)+\int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)e^{\int _{s}^{t}\beta (\sigma ){\rm {d}}\sigma }{\rm {d}}s

für alle $t\in I$ .

Man beachte, dass die Funktion $u$ in der vorausgesetzten Ungleichung noch auf beiden Seiten vorkommt, in der Schlussfolgerung aber nur noch auf der linken Seite, das heißt, man erhält eine echte Abschätzung für $u$ .

Spezialfall

Ist $\alpha$ monoton steigend so vereinfacht sich die Abschätzung zu

u(t)\leq \alpha (t)e^{\int _{a}^{t}\beta (s){\rm {d}}s}\ .

Insbesondere im Fall konstanter Funktionen $\alpha \equiv A$ und $\beta \equiv B\geq 0$ lautet die gronwallsche Ungleichung

u(t)\leq A+\int _{a}^{t}ABe^{B(t-s)}{\rm {d}}s=Ae^{B(t-a)}\ .

Anwendungen

Eindeutigkeitssatz für Anfangswertprobleme

Es sei $\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$ , $G\subset \mathbb {R} \times \mathbb {K} ^{n}$ , $(a,y_{0})\in G$ und $F\colon G\rightarrow \mathbb {K} ^{n}$ stetig sowie lokal Lipschitz-stetig bezüglich der zweiten Variablen. Dann besitzt das Anfangswertproblem $\ y'=F(x,y),y(a)=y_{0}$ genau eine Lösung $y\in C^{1}([a,b);\mathbb {K} ^{n})$ .

Linear beschränkte Differentialgleichungen

Seien $\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$ , $G\subset [a,b)\times \mathbb {K} ^{n}$ , $(a,y_{0})\in G$ , $b<\infty$ und $F=F(x,y):G\rightarrow \mathbb {K} ^{n}$ stetig. Weiter gebe es Funktionen $\alpha ,\beta \in C([a,b);[0,\infty ))\cap L^{1}([a,b))$ derart, dass

\|F(x,y)\|\leq \alpha (x)+\beta (x)\|y\|

für alle $(x,y)\in G$ . Dann ist jede Lösung $y$ von

y'=F(x,y)\ ,\ y(a)=y_{0}

auf $[a,b)$ beschränkt.

Beweis

Es gilt

\|y(x)\|\leq \|y_{0}\|+\int _{a}^{x}\|F(s,y(s))\|{\rm {d}}s\leq \|y_{0}\|+\int _{a}^{x}\alpha (s){\rm {d}}s+\int _{a}^{x}\beta (s)\|y(s)\|{\rm {d}}s\ .

Die gronwallsche Ungleichung impliziert

\|y(x)\|\leq \|y_{0}\|+\int _{a}^{x}\alpha (s){\rm {d}}s+\int _{a}^{x}\left(\|y_{0}\|+\int _{a}^{s}\alpha (\sigma ){\rm {d}}\sigma \right)\beta (s)e^{\int _{s}^{x}\beta (\sigma ){\rm {d}}\sigma }{\rm {d}}s\ ,

und daraus ergibt sich folgende Abschätzung gegen eine Konstante:

\|y(x)\|\leq \|y_{0}\|+\int _{a}^{b}\alpha (s){\rm {d}}s+\int _{a}^{b}\left(\|y_{0}\|+\int _{a}^{b}\alpha (\sigma ){\rm {d}}\sigma \right)\beta (s)e^{\int _{a}^{b}\beta (\sigma ){\rm {d}}\sigma }{\rm {d}}s\ .

Literatur

Herbert Amann: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 2. Auflage. de Gruyter Lehrbücher, Berlin / New York 1995, ISBN 3-11-014582-0.
Gerald Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems (= Graduate Studies in Mathematics. Band 140). American Mathematical Society, Providence 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0 (mat.univie.ac.at).