In der Mathematik ist die Hurwitz-Zahl eine spezielle Zahl, welche die Anzahl der verzweigten Überlagerungen über der Riemannschen Zahlenkugel bzw. die Zahl der meromorphen Funktionen aufgrund ihres Verzweigungsprofils über
beschreibt.
Motivation
Benannt sind die Zahlen nach Adolf Hurwitz, der sie 1891 definierte und erste Berechnungen durchführte.[1] Betrachtet werden hier spezielle holomorphe Funktionen
, wobei
eine kompakte riemannsche Fläche und
die Riemannsche Zahlenkugel ist. Die riemannsche Zahlenkugel besteht aus den komplexe Zahlen
und einem weiteren Punkt
, die mit einer speziellen Topologie versehen ist. Damit ist die Funktion
eine meromorphe Funktion. Hurwitz war vor allem daran interessiert, ob man abhängig vom Verhalten an den Polstellen (also den Urbildern von
) Aussagen über die Zahl der Funktion treffen kann.
Definitionen
Hurwitz-Überlagerungen
Sei
eine kompakte riemannsche Fläche und
eine
-blättrige holomorphe Überlagerung und
die Polstellen von
, d. h. es gilt
für
und es bezeichne
den Verzweigungsindex von
.
nennen wir eine Hurwitz-Überlagerung vom Typ
, falls
das Geschlecht von
und
eine Partition von
ist. Die Menge aller Hurwitz-Überlagerungen bezeichnen wir mit
.
Für gewöhnlich setzt man bei der Definition voraus, dass die riemannsche Fläche zusammenhängend ist.
Hurwitz-Zahl
Eine Hurwitz-Zahl
vom Typ
definieren wir als
,
wobei
die Automorphismengruppe von
bezeichnet.
Im Folgenden setzen wir
.
Die folgende kombinatorische Formel stammt von Hurwitz selbst:[1]
Betrachte die Tupel
, welche folgende drei Bedingungen erfüllen:
sind Transpositionen - Die
erzeugte Untergruppe wirkt transitiv auf
.
besitzt den Zyklenzeiger
.
Dann gilt[2]
![{\displaystyle h_{(g,\mu )}={\frac {\#\{(t_{1},\dots ,t_{w})\in (S_{d})^{w}\mid {\text{Es gilt (1), (2) und (3).}}\}}{d!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e407c9cac33d0b9b09d760f8e8611f7b9ecffd9)
Beispiele
Mithilfe der kombinatorischen Formel kann man einige Beispiele ausrechnen:
- Ist
,
und der Partition
ist
und die einzige Transposition ist gegeben durch
. Damit folgt
![{\displaystyle h_{(}0,(2))={\frac {1}{2!}}={\frac {1}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c5963e89af8e2ca31b614ece9a41335a101ba53)
- Hurwitz-Zahlen müssen nicht zwangsläufig ganzzahlig sein.
- Wir betrachten die Partition
mit einem beliebigen
. Gesucht sind nun Tupel
von Transpositionen mit
, welche alle gesuchten Bedingungen erfüllen. Da der Zyklenzeiger
betragen soll, heißt das, dass
eine Transposition ist. Da wir in
arbeiten, können die ersten
Transpositionen frei gewählt werden. Das
ist eindeutig bestimmt durch
, denn in
muss man bei einer beliebigen Permutation nur zwei Einträge permutieren, um eine Transposition zu erhalten. Die Transpositionen von
sind gegeben durch
. Man sieht, dass man mindestens zwei Transpositionen braucht, damit die erzeugte Untergruppe transitiv auf
wirkt. Zusammen ergibt sich also
![{\displaystyle h_{(g,(1,2))}={\frac {3^{2g+3}-3}{6}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98e3d90005bec0e8047d5a5051ef94595176e0d7)
- Schon bei verhältnismäßig einfachen Partitionen kann die Berechnung sehr schwer sein. Weitere Lösungen sind zum Beispiel[3]
![{\displaystyle h_{(g,(1,1,2))}={\frac {(2^{2g+4}-4)(3^{2g+5}-3)}{24}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ffe5b6110c313959a97ef5059c4d8bfc8082cf0)
![{\displaystyle h_{(g,(1,1,1,1,2))}={\frac {15^{2g+10}}{2\cdot 360^{2}}}-{\frac {10^{2g+10}}{7200}}+{\frac {9^{2g+10}}{2\cdot 72^{2}}}-{\frac {7^{2g+10}}{2\cdot 24^{2}}}+{\frac {6^{2g+10}}{2\cdot 36^{2}}}-{\frac {5^{2g+10}}{360}}+{\frac {4^{2g+10}}{36}}-{\frac {19}{324}}\cdot 3^{2g+10}-{\frac {19}{144}}\cdot 2^{2g+10}+{\frac {727}{1152}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f81ea68769f8db4f64c78d058db4b0d63e2c6863)
Um das Jahr 2000 herum ist eine neue Rechenformel entdeckt worden, die ein Verhältnis zur algebraischen Geometrie herstellt. Benannt nach den Entdeckern Torsten Ekedahl, Sergei Lando, Michael Shapiro, Alek Vainshtein, lautet die ELSV-Formel[4]
![{\displaystyle h_{(g,\mu )}={\dfrac {m!}{\#{\text{Aut}}(\mu )}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {\mu _{i}^{\mu _{i}}}{\mu _{i}!}}\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}{\frac {c(E^{*})}{(1-\mu _{1}\psi _{1})\cdots (1-\mu _{n}\psi _{n})}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64594fd6899c4dd9019b64464552553ee01a8e7f)
Hier bedeuten die Variablen folgendermaßen:
ist der Modulraum der stabilen Kurven vom Geschlecht
mit
ausgezeichneten Punkten;
ist der Hodge-Bündel und
die totale Chernklasse des dualen Vektorbündels;
ist die erste Chernklasse des Kotangentialbündels am
-ten Punkt.
Anmerkungen
- ↑ a b Adolf Hurwitz. Mathematische Werke. Bd. 1. Funktionentheorie. Springer, 1962, S. 321 ff.
- ↑ Jared Onegaro: Formulae for Calculating Hurwitz Numbers, 2020, arxiv:2002.09871, S. 6 ff.
- ↑ Jared Onegaro: Formulae for Calculating Hurwitz Numbers, 2020, arxiv:2002.09871, S. 7 ff.
- ↑ Chiu-Chu Melissa Liu: Lectures on the ELSV formula, 2010, arxiv:1004.0853, S. 8.