Kiepert-Hyperbel

Die Kiepert-Hyperbel eines Dreieck, benannt nach Ludwig Kiepert, ist eine spezielle Hyperbel, die durch die drei Eckpunkte des Dreiecks und eine Reihe seiner ausgezeichneten Punkte verläuft.

An den Seiten eines Dreiecks ${\displaystyle \triangle ABC}$ werden drei ähnliche gleichschenklige Dreiecke ${\displaystyle \triangle ABF}$, ${\displaystyle \triangle BCE}$ und ${\displaystyle \triangle ACD}$ angefügt, und zwar jeweils mit einer Seite des gegebenen Dreiecks als Basis. Dann bilden die Spitzen der drei gleichschenkligen Dreiecke ein neues Dreieck ${\displaystyle \triangle DEF}$ , das als Kiepert-Dreieck bezeichnet wird. Das Kiepert-Dreieck ${\displaystyle \triangle DEF}$ und das Ausgangsdreieck ${\displaystyle \triangle ABC}$ sind aufgrund des Satzes von Kiepert perspektivisch, das heißt, die Geraden ${\displaystyle FC}$, ${\displaystyle AE}$ und ${\displaystyle BD}$ schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt ${\displaystyle P}$, dem Perspektivitätszentrum.

Die Kiepert-Hyperbel des Dreiecks ${\displaystyle \triangle ABC}$ ist nun definiert als der geometrische Ort aller dieser Perspektivitätszentren, die man erhält, wenn man die Basiswinkel der ähnlichen Dreiecke alle Winkel zwischen ${\displaystyle -90^{\circ }}$ und ${\displaystyle 90^{\circ }}$ durchlaufen lässt.

Der Basiswinkel ${\displaystyle \phi }$ der angefügten gleichschenkligen Dreiecke wird positiv genommen, wenn diese nach außen gerichtet sind, andernfalls negativ. Das zugehörige Kiepert-Dreieck wird mit ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{\phi }}$ bezeichnet, das Perspektivitätszentrum mit ${\displaystyle K_{\phi }}$.

Baryzentrische Koordinaten von ${\displaystyle K_{\phi }}$ (unter Verwendung der Conway-Dreiecksnotation):

${\displaystyle \left({\frac {1}{S_{A}+S_{\phi }}}:{\frac {1}{S_{B}+S_{\phi }}}:{\frac {1}{S_{C}+S_{\phi }}}\right)}$

Die Formel für die Kiepert-Hyperbel in baryzentrischen Koordinaten ist

${\displaystyle (b^{2}-c^{2})yz+(c^{2}-a^{2})xz+(a^{2}-b^{2})xy=0.\,}$

Der Mittelpunkt der Kiepert-Hyperbel hat die baryzentrischen Koordinaten

${\displaystyle (b^{2}-c^{2})^{2}:(c^{2}-a^{2})^{2}:(a^{2}-b^{2})^{2},\,}$

die Kimberling-Nummer X(115) und liegt auf dem Feuerbach-Kreis (Neun-Punkte-Kreis).

Bei der Kiepert-Hyperbel handelt sich um eine gleichseitige Hyperbel, die unter anderem durch folgende Punkte geht:

• die Ecken des gegebenen Dreiecks,
• den Höhenschnittpunkt,
• den Schwerpunkt,
• den Spieker-Punkt,
• die beiden Napoleon-Punkte,
• die beiden Fermat-Punkte,
• den Tarry-Punkt,
• den dritten Brocard-Punkt,
• die beiden Vecten-Punkte.

Die Kiepert-Hyperbel ist isogonal konjugiert zur Brocard-Achse.

• R. H. Eddy, R. Fritsch: The Conics of Ludwig Kiepert: A Comprehensive Lesson in the Geometry of the Triangle. Mathematics Magazine, Band 67, Nr. 3 (Juni, 1994), S. 188–205
• Cristoph Pöppe: Napoleons Punkt und Kieperts Hyperbel. In: Spektrum der Wissenschaft, August 2017

Commons: Kiepert's hyperbola – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Eric W. Weisstein: Kiepert Hyperbola. In: MathWorld (englisch).
• Kiepert-Hyberbel – Animation mit GeoGebra