Lage-Skalen-Familie

In der Statistik ist eine Lage-Skalen-Familie^[1] bzw. Lage- und Skalenfamilie^[2] eine Familie von Wahrscheinlichkeitsverteilungen parametrisiert durch einen Lageparameter und einen nichtnegativen Skalenparameter.

Definition

Sei ${\displaystyle Z}$ eine reelle Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion ${\displaystyle F_{Z}}$, und für ${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle \sigma >0}$ sei^[1]

${\displaystyle X=\mu +\sigma Z}$.

Die auf diese Art entstehende Familie von Verteilungen heißt eine von ${\displaystyle Z}$ induzierte Lage-Skalen-Familie mit Lageparameter ${\displaystyle \mu }$ und Skalenparameter ${\displaystyle \sigma }$. Für ${\displaystyle \mu =0}$ spricht man von einer (reinen) Skalenfamilie. Für ${\displaystyle \sigma =1}$ spricht man von einer Lagefamilie mit dem Lageparameter ${\displaystyle \mu }$.

Eigenschaften

Zusammenhang zwischen den Verteilungsfunktionen

Die Verteilungsfunktion ${\displaystyle F_{X}}$ der Zufallsvariablen ${\displaystyle X}$ kann durch die Verteilungsfunktion ${\displaystyle F_{Z}}$ der Zufallsvariablen ${\displaystyle X}$ ausgedrückt werden. Es gilt

${\displaystyle F_{X}(t)=F_{Z}\left({\frac {t-\mu }{\sigma }}\right)\quad {\text{für alle }}t\in \mathbb {R} \;,}$

da

${\displaystyle F_{X}(t)=P(X\leq t)=P(\mu +\sigma Z\leq t)=P\left(Z\leq {\frac {t-\mu }{\sigma }}\right)=F_{Z}\left({\frac {t-\mu }{\sigma }}\right)\;.}$

Die durch ${\displaystyle F_{Z}}$ erzeugte Lage-Skalen-Familie mit dem Lageparameter ${\displaystyle \mu }$ und dem Skalenparamater ${\displaystyle \sigma >0}$ kann damit durch die zweiparametrige Menge von Verteilungsfunktionen

${\displaystyle \left\{\left.F_{\mu ,\sigma }(\cdot )=F_{Z}\left({\frac {\cdot -\mu }{\sigma }}\right)\right|\mu \in \mathbb {R} ,\sigma >0\right\}\;.}$

charakterisiert werden.

Zusammenhang zwischen den Quantilfunktionen

Ist ${\displaystyle F_{Z}}$ auf ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :F_{Z}(x)\in (0,1)\}}$ stetig und streng monoton, dann ist auch die Verteilungsfunktion ${\displaystyle F_{X}}$ von ${\displaystyle X}$ auf ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :F_{X}(x)\in (0,1)\}}$ stetig und streng monoton und es gilt:^[1]

${\displaystyle F_{X}^{-1}(u)=\mu +\sigma F_{Z}^{-1}(u),\;u\in (0,1)}$.

Im Fall einer reinen Skalenfamilie gilt

${\displaystyle F_{X}^{-1}(u)=\sigma F_{Z}^{-1}(u),\;u\in (0,1)}$.

Beispiele

• Die Normalverteilungen ${\displaystyle \mathrm {N} (\mu ,\sigma ^{2})}$ bilden eine Lage-Skalen-Familie mit dem Lageparameter ${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$ und dem Skalenparamater ${\displaystyle \sigma >0}$. Die zugehörige Menge der Verteilungsfunktionen ist

${\displaystyle \left\{\left.\Phi _{\mu ,\sigma }(\cdot )=\Phi \left({\frac {\cdot -\mu }{\sigma }}\right)\right|\mu \in \mathbb {R} ,\sigma >0\right\}}$,

wobei ${\displaystyle \Phi }$ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung bezeichnet. Dabei ist ${\displaystyle \mu }$ zugleich der Erwartungswert und ${\displaystyle \sigma }$ ist zugleich die Standardabweichung von ${\displaystyle X\sim \mathrm {N} (\mu ,\sigma ^{2})}$.

• Die Exponentialverteilungen ${\displaystyle \mathrm {Exp} (\lambda )}$ mit den Verteilungsfunktionen

${\displaystyle F_{\lambda }(x)={\begin{cases}1-\mathrm {e} ^{-\lambda x}&{\text{für }}x>0,\\0&{\text{für }}x\leq 0\end{cases}}}$

für ${\displaystyle \lambda >0}$ bilden eine Skalen-Familie mit dem Skalenparameter ${\displaystyle \sigma =1/\lambda }$. Dabei ist ${\displaystyle \sigma }$ zugleich die Standardabweichung von ${\displaystyle X\sim \mathrm {Exp} (\lambda )}$.

• Aus der Standard-Cauchyverteilung ${\displaystyle \mathrm {C} (0,1)}$ mit der Verteilungsfunktion

${\displaystyle F(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan(x)\quad {\text{für }}x\in \mathbb {R} }$.

kann die Lage-Skalen-Familie ${\displaystyle \{C(\mu ,\sigma )\mid \mu \in \mathbb {R} ,\sigma >0\}}$ gebildet werden, indem ausgehend von ${\displaystyle Z\sim \mathrm {C} (0,1)}$ die Verteilungen von ${\displaystyle \mu +\sigma Z}$ für ${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle \sigma >0}$ gebildet werden. Die Verteilungsfunktion von ${\displaystyle \mu +\sigma Z}$ ist

${\displaystyle F_{\mu ,\sigma }(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}$.

Für die Cauchyverteilungen sind weder Erwartungswert noch Varianz definiert, so dass der Lageparameter ${\displaystyle \mu }$ und der Skalenparameter ${\displaystyle \sigma }$ bei dieser Lage-Skalen-Familie nicht als Erwartungswert und Standardabweichung interpretiert werden dürfen.

Literatur

• Torsten Becker, Richard Herrmann, Viktor Sandor, Dominik Schäfer, Ulrich Wendisch: Stochastische Risikomodellierung und statistische Methoden – Ein anwendungsorientiertes Lehrbuch für Aktuare. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-49406-6, Kap. 12.1: Lage-Skalen-Familien, doi:10.1007/978-3-662-49407-3. 

Einzelnachweise

1. ↑ ^{a b c} Torsten Becker et al., S. 357.
2. ↑ location-scale family. Glossary of statistical terms. In: International Statistical Institute. 1. Juni 2011, abgerufen am 19. Mai 2020 (englisch).