Leere Wahrheit

Als leere Wahrheit (englisch vacuous truth) bezeichnet man in der mathematischen Logik und der Logik eine Aussage ${\displaystyle P\implies Q}$, die wahr ist, weil das Antezedens ${\displaystyle P}$ nicht erfüllt werden kann.

Form

Leere Wahrheiten sind Implikationen ${\displaystyle P\implies Q}$, wenn ${\displaystyle P}$ a priori nicht erfüllt werden kann. Häufig sind sie von der Form

${\displaystyle \forall x\colon P(x)\implies Q(x),}$

wenn ${\displaystyle \forall x\colon \neg P(x)}$, oder

${\displaystyle \forall x\in A\colon Q(x),}$

wobei ${\displaystyle A=\emptyset }$.

${\displaystyle \emptyset }$ ist die leere Menge.

Beispiele

Aus der Mathematik:

• Sei ${\displaystyle Q}$ eine Eigenschaft, dann erfüllen alle ${\displaystyle a\in \emptyset }$ die Eigenschaft ${\displaystyle Q}$.
• Sei ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$, dann gilt ${\displaystyle x^{2}<0\implies x=42}$.
• Sei ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$, dann gilt ${\displaystyle x>0\;{\land }\;x<0\implies x>\infty }$.
• Alle geraden Primzahlen ${\displaystyle p>2}$ sind durch ${\displaystyle 9}$ teilbar.

Im Sprachgebrauch:

• Die englischen Redewendungen „wenn Schweine fliegen“ (englisch when pigs fly) oder „wenn die Hölle gefriert“ (englisch when hell freezes over) sind Antezedenzien einer leeren Wahrheit.

Literatur

• Raymond M. Smullyan, Melvin Fitting: Set Theory and the Continuum Problem. Hrsg.: Dover Publications. 2010, ISBN 0-486-47484-4 (englisch).