Longchamps-Punkt

Longchamps-Punkt L

Der Longchamps-Punkt (Punkt von De Longchamps), benannt nach dem französischen Mathematiker Gohierre de Longchamps (1842–1906), gehört zu den ausgezeichneten Punkten eines Dreiecks. Er ist definiert als der Spiegelpunkt (L) des Höhenschnittpunkts (H) am Umkreismittelpunkt (U).

Eigenschaften

  • Der Longchamps-Punkt liegt auf der eulerschen Geraden.
  • Der Longchamps-Punkt liegt mit dem Gergonne-Punkt und dem Inkreismittelpunkt auf einer Geraden.

Koordinaten

Longchamps-Punkt ( X 20 {\displaystyle X_{20}} )[1]
Trilineare Koordinaten ( cos ⁡ α − cos ⁡ β cos ⁡ γ ) : ( cos ⁡ β − cos ⁡ γ cos ⁡ α ) : ( cos ⁡ γ − cos ⁡ α cos ⁡ β ) {\displaystyle (\cos \alpha -\cos \beta \cos \gamma )\,:\,(\cos \beta -\cos \gamma \cos \alpha )\,:\,(\cos \gamma -\cos \alpha \cos \beta )}
Baryzentrische Koordinaten ( tan ⁡ β + tan ⁡ γ − tan ⁡ α ) : ( tan ⁡ γ + tan ⁡ α − tan ⁡ β ) : ( tan ⁡ α + tan ⁡ β − tan ⁡ γ ) {\displaystyle (\tan \beta +\tan \gamma -\tan \alpha )\,:\,(\tan \gamma +\tan \alpha -\tan \beta )\,:\,(\tan \alpha +\tan \beta -\tan \gamma )}

= f ( a , b , c ) : f ( b , c , a ) : f ( c , a , b )  mit  f ( a , b , c ) = − 3 a 4 + 2 a 2 ( b 2 + c 2 ) + ( b 2 − c 2 ) 2 {\displaystyle =f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b){\mbox{ mit }}f(a,b,c)=-3a^{4}+2a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2}}

Literatur

  • A. Vandeghen: Soddy's Circles and the De Longchamps Point of a Triangle. The American Mathematical Monthly, Band 71, Nr. 2 (Feb., 1964), S. 176–179 (JSTOR:2311750)
  • Eric W. Weisstein: de Longchamps Point. In: MathWorld (englisch).

Belege

  1. ↑ Eric W. Weisstein: Kimberling Center. In: MathWorld (englisch).