Reeller projektiver Raum

Ein reeller projektiver Raum ist in der Mathematik der projektive Raum eines reellen Vektorraumes, welcher als Punkte sämtliche reelle Ursprungsgeraden (eindimensionale Untervektorräume) von diesem enthält. ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}}$ notiert dabei den projektiven Raum von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ und wird ${\displaystyle n}$-ter reeller projektiver Raum genannt. Ein reeller projektiver Raum ist ein Spezialfall einer Graßmann-Mannigfaltigkeit durch ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}=\operatorname {Gr} _{1}(\mathbb {R} ^{n+1})}$.

Konstruktion

Auf dem reellen euklidischen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}\setminus \{0\}}$ ohne Ursprung ist die Relation ${\displaystyle x\sim y}$, wenn es einen reellen Skalar ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} \setminus \{0\}}$ mit ${\displaystyle x=\lambda y}$ gibt, eine Äquivalenzrelation. ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}}$ ist der Faktorraum von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}\setminus \{0\}}$ unter dieser Äquivalenzrelation.^[1] Die Äquivalenzklasse einer Koordinate ${\displaystyle (x_{0},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n-1}\setminus \{0\}}$ wird als ${\displaystyle [x_{0}:\ldots :x_{n}]\in \mathbb {R} P^{n}}$ notiert. Dieser Raum ist eine (reelle) Mannigfaltigkeit, was an der alternativen Definition durch die eindimensionalen Untervektorräume von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$, also als Graßmann-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}=\operatorname {Gr} _{1}(\mathbb {R} ^{n+1})}$, erkennbar ist. Dabei gilt:

${\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }\mathbb {R} P^{n}=n.}$

Eine alternative Konstruktion ist die Einschränkung auf die Sphären ${\displaystyle S^{n}\subset \mathbb {R} ^{n+1}\setminus \{0\}}$ und ${\displaystyle S^{0}\subset \mathbb {R} \setminus \{0\}}$ bei der Betrachtung dieser Äquivalenzrelation.^[1] Dadurch ergibt sich ein Faserbündel:^[2]

${\displaystyle S^{0}\rightarrow S^{n}\rightarrow \mathbb {R} P^{n}.}$

Da die Faser ${\displaystyle S^{0}\cong \mathbb {Z} _{2}}$ diskret ist, ist die Abbildung ${\displaystyle S^{n}\rightarrow \mathbb {R} P^{n}}$ eine doppelte Überlagerung.

Niedrigdimensionale Beispiele

• ${\displaystyle \mathbb {R} P^{0}}$ ist der einpunktige Raum.
• ${\displaystyle \mathbb {R} P^{1}}$ wird reelle projektive Linie genannt und ist homöomorph zur ${\displaystyle 1}$-Sphäre ${\displaystyle S^{1}}$.^[3] Die zusammen mit der kanonischen Projektion ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} P^{1}}$ erzeugte Abbildung ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\supset S^{1}\rightarrow S^{1}\cong \mathbb {R} P^{1}}$ zwischen Sphären ist die reele Hopf-Faserung ${\displaystyle h_{\mathbb {R} }}$.^[4]
• ${\displaystyle \mathbb {R} P^{2}}$ wird reelle projektive Ebene genannt. Ihre Immersion in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ist bekannt als Boysche Fläche und es gibt eine Einbettung in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$. Das Problem von Immersion und Einbettung des reellen projektiven Raumes ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}}$ ist bereits gut untersucht.^[5]
• ${\displaystyle \mathbb {R} P^{3}}$ ist diffeomorph zur Drehgruppe ${\displaystyle \operatorname {SO} (3)}$ und besitzt daher eine Gruppenstruktur.^[6] Die doppelte Überlagerung ${\displaystyle S^{3}\rightarrow \mathbb {R} P^{3}}$ ist dabei topologisch zugrundeliegend für die doppelte Überlagerung ${\displaystyle \operatorname {Spin} (3)\rightarrow \operatorname {SO} (3)}$. (Entsprechend ist ${\displaystyle S^{3}}$ diffeomorph zur Spingruppe ${\displaystyle \operatorname {Spin} (3)}$ und besitzt daher ebenfalls eine Gruppenstruktur.)

Eigenschaften

• Jede stetige Abbildung ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}\rightarrow \mathbb {R} P^{n}}$ mit ${\displaystyle n}$ gerade hat einen Fixpunkt (also ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}}$ die Fixpunkteigenschaft für ${\displaystyle n}$ gerade).^[7][8] Für ${\displaystyle n}$ ungerade gilt dies nicht, da dann die Abbildung ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}\rightarrow \mathbb {R} P^{n},[x_{0}:x_{1}:....:x_{n-1}:x_{n}]\mapsto [x_{1}:-x_{0}:....:x_{n}:-x_{n-1}]}$ keinen Fixpunkt hat.^[8]
• Die reelle projektive Ebene ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}}$ ist der Moore-Raum ${\displaystyle M(\mathbb {Z} _{2},1)}$. Ihre ${\displaystyle n}$-fache Einhängung ${\displaystyle \Sigma ^{n}\mathbb {R} P^{2}}$ ist daher der Moore-Raum ${\displaystyle M(\mathbb {Z} _{2},n+1)}$.
• Die kleinste natürliche Zahl ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$, sodass ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}}$ mit ${\displaystyle n\neq 1,3,7}$ eine Einbettung in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k-1}}$ besitzt, ist genau die topologische Komplexität ${\displaystyle \operatorname {TC} (\mathbb {R} P^{n})}$ (mit der Konvention ${\displaystyle \operatorname {TC} (\{*\})=1}$).^[9]
• Für ${\displaystyle n=1,3,7}$ ist ${\displaystyle \operatorname {TC} (\mathbb {R} P^{n})=n+1}$.^[9]

CW-Struktur

Der reelle projektive Raum ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}}$ ist ein CW-Komplex. ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}}$ entsteht aus ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n-1}}$ durch Anklebung einer ${\displaystyle n}$-Zelle. Da ${\displaystyle \mathbb {R} P^{0}}$ aus einer ${\displaystyle 0}$-Zelle besteht, hat die CW-Struktur auf ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}}$ daher eine Zelle in jeder Dimension ${\displaystyle k}$ von ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$.^[10][11]

Algebraische Topologie

Homotopie

Die Homotopiegruppen des reellen projektiven Raumes ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}}$ lassen sich über die lange exakte Sequenz von Homotopiegruppen^[12] des Faserbündels ${\displaystyle S^{0}\rightarrow S^{n}\rightarrow \mathbb {R} P^{n}}$ berechnen^[13] und sind gegeben durch:^[14]

${\displaystyle \pi _{k}(\mathbb {R} P^{n})={\begin{cases}0&;k=0\\\mathbb {Z} &;k=1,n=1\\\mathbb {Z} _{2}&;k=1,n>1\\\pi _{k}(S^{n})&;k>1,n>0\end{cases}}.}$

Homologie

Die Homologiegruppen des reellen projektiven Raumes ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}}$ lassen sich über zelluläre Homologie aus dessen CW-Struktur berechnen und sind gegeben durch:^[15][16]

${\displaystyle H_{k}(\mathbb {R} P^{n})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &;k=0{\text{ oder }}k=n{\text{ wenn ungerade}}\\\mathbb {Z} _{2}&;k{\text{ ungerade}},0<k<n\\1&;{\text{sonst.}}\end{cases}}.}$

Es ist also ${\displaystyle H_{n-1}(\mathbb {R} P^{n})\cong \mathbb {Z} _{2}}$ für ${\displaystyle n}$ gerade und ${\displaystyle H_{n-1}(\mathbb {R} P^{n})\cong 1}$ für ${\displaystyle n}$ ungerade. Daraus folgt,^[17] dass ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}}$ genau dann orientierbar ist, wenn ${\displaystyle n}$ ungerade ist.^[18]

Kohomologie

Die Kohomologiegruppen des reellen projektiven Raumes ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}}$ sind gegeben durch:^[19]

${\displaystyle H^{k}(\mathbb {R} P^{n})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &;k=0{\text{ oder }}k=n{\text{ wenn ungerade}}\\\mathbb {Z} _{2}&;k{\text{ ungerade}},0<k<n\\1&;{\text{sonst.}}\end{cases}}.}$

Für den Kohomologiering gilt:^[20]

${\displaystyle H^{*}(\mathbb {R} P^{n};\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2}[w_{1}]/(w_{1}^{n+1}),}$

wobei ${\displaystyle w_{1}}$ die erste Stiefel–Whitney-Klasse ist.

K-Theorie

Tautologisches Linienbündel

Es gibt ein kanonisches Linienbündel über dem reellen projektiven Raum ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}}$, da dessen Punkte per Konstruktion aus eindimensionalen Untervektorräumen bestehen, definiert durch:

${\displaystyle \gamma _{\mathbb {R} }^{1,n}:=\{(x,V)\in \mathbb {R} ^{n+1}\times \mathbb {R} P^{n}|x\in V\}}$

${\displaystyle \pi _{\mathbb {R} }^{1,n}\colon \gamma _{\mathbb {R} }^{1,n}\rightarrow \mathbb {R} P^{n},(x,V)\mapsto V.}$

Das ist ein Spezialfall des tautologischen Vektorbündels über Graßmann-Mannigfaltigkeiten.^[21]

Tangentialbündel

Für das Tangentialbündel des reellen projektiven Raumes ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}}$ gilt:^[22]

${\displaystyle T\mathbb {R} P^{n}\oplus {\underline {\mathbb {R} }}\cong (\gamma _{\mathbb {R} }^{1,n})^{n+1}.}$

Unendlicher reeller projektiver Raum

Die kanonische Inklusion ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}\hookrightarrow \mathbb {R} ^{n+2},x\mapsto (x,0)}$ erzeugt eine wohldefinierte kanonische Inklusion ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}\hookrightarrow \mathbb {R} P^{n+1},[x]\mapsto [(x,0)]}$. Der direkte Limes dieser Kette an Inklusionen wird als:

${\displaystyle \mathbb {R} P^{\infty }:=\lim _{n\rightarrow \infty }\mathbb {R} P^{n}}$

bezeichnet und unendlicher reeller projektiver Raum genannt.^[23]

Das obige Faserbündel ${\displaystyle S^{0}\rightarrow S^{n}\rightarrow \mathbb {R} P^{n}}$ erzeugt durch direkten Limes ein Faserbündel ${\displaystyle S^{0}\rightarrow S^{\infty }\rightarrow \mathbb {R} P^{\infty }}$. Da die unendlich-dimensionale Sphäre ${\displaystyle S^{\infty }}$ zusammenziehbar ist (also alle Homotopiegruppen verschwinden),^[24] folgt aus der langen exakten Sequenz von Homotopiegruppen^[12] für die des unendlich reellen projektiven Raumes ${\displaystyle \mathbb {R} P^{\infty }}$:

${\displaystyle \pi _{k}(\mathbb {R} P^{\infty })\cong \pi _{k-1}(S^{0})={\begin{cases}\mathbb {Z} _{2}&;k=1\\1&;{\text{sonst.}}\end{cases}}.}$

Die CW-Struktur überträgt sich ebenfalls durch den direkten Limes, sodass der unendliche reelle projektive Raum ${\displaystyle \mathbb {R} P^{\infty }}$ eine CW-Struktur mit einer Zelle in jeder Dimension hat.

Das tautologische Linienbündel lässt sich durch den direkten Limes ${\displaystyle \gamma _{\mathbb {R} }^{1}:=\lim _{n\rightarrow \infty }\gamma _{\mathbb {R} }^{1,n}}$ über die kanonischen Inklusionen ${\displaystyle \gamma _{\mathbb {R} }^{1,n}\hookrightarrow \gamma _{\mathbb {R} }^{1,n+1},(x,V)\mapsto ((x,0),V\times \{0\})}$ auf ${\displaystyle \mathbb {R} P^{\infty }}$ fortsetzen und ist ein Spezialfall eines universellen Vektorbündels. Die Namensgebung kommt daher, dass sich jedes reelle Linienbündel als zurückgezogenes Vektorbündel aus diesem erhalten lässt, also für jedes reelle Linienbündel ${\displaystyle \pi \colon E\rightarrow B}$ mit ${\displaystyle B}$ parakompakt (bis auf Homotopie) eine klassifizierende Abbildung ${\displaystyle f\colon B\rightarrow \mathbb {R} P^{\infty }}$ existiert, sodass ${\displaystyle \pi =f^{*}\pi _{\mathbb {R} }^{1}}$. Es gibt daher eine Isomorphie von Mengen:^[25]

${\displaystyle \operatorname {Vect} _{\mathbb {R} }^{1}(B)\cong [B,\mathbb {R} P^{\infty }].}$

Etwa ist der Rückzug des universellen Vektorbündels ${\displaystyle \gamma _{\mathbb {R} }^{1}}$ entlang der kanonischen Inklusion ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}\hookrightarrow \mathbb {R} P^{\infty }}$ (also ${\displaystyle B=\mathbb {R} P^{n}}$) wieder das tautologische Linienbündel ${\displaystyle \gamma _{\mathbb {R} }^{1,n}}$.

${\displaystyle \mathbb {R} P^{\infty }}$ ist ${\displaystyle \operatorname {BO} (1)}$, der klassifizierende Raum von ${\displaystyle \operatorname {O} (1)}$, der ersten orthogonalen Gruppe, und dadurch ebenso ${\displaystyle K(\mathbb {Z} _{2},1)}$,^[26][23] der erste Eilenberg–MacLane-Raum von ${\displaystyle \pi _{0}\operatorname {O} (1)\cong \mathbb {Z} _{2}}$ wie oben bereits gezeigt. Das bedeutet, dass ${\displaystyle \mathbb {R} P^{\infty }}$ die erste singuläre Kohomologie mit Koeffizienten in ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ darstellt (vergleiche mit dem Brownschen Darstellungssatz), also für topologische Räume ${\displaystyle B}$ mit dem Homotopietyp eines CW-Komplexes (also insbesondere parakompakt^[27]) sogar spezieller gilt:

${\displaystyle \operatorname {Vect} _{\mathbb {R} }^{1}(B)\cong [B,\mathbb {R} P^{\infty }]\cong H^{1}(B;\mathbb {Z} _{2}).}$

Dabei ist der Isomorphismus (Homomorphismus, falls ${\displaystyle B}$ nicht vom Homotopietyp eines CW-Komplexes ist) durch die erste Stiefel–Whitney-Klasse ${\displaystyle w_{1}\colon \operatorname {Vect} _{\mathbb {R} }^{1}(B)\rightarrow H^{1}(B;\mathbb {Z} _{2})}$ gegeben.^[28]

Der Kohomologiering des unendlich reellen projektiven Raumes ${\displaystyle \mathbb {R} P^{\infty }}$ mit Koeffizienten in ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ist gegeben durch:^[20]

${\displaystyle H^{*}(\mathbb {R} P^{\infty };\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2}[w_{1}],}$

wobei ${\displaystyle w_{1}}$ die erste Stiefel–Whitney-Klasse ist. Das folgt direkt aus dem allgemeineren Resultat für den klassifizierenden Raum von ${\displaystyle \operatorname {O} (n)}$:^[29][30]

${\displaystyle H^{*}(\operatorname {BO} (n);\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2}[w_{1},\ldots ,w_{n}].}$

Siehe auch

• Komplexer projektiver Raum
• Quaternionischer projektiver Raum
• Oktonionischer projektiver Raum

Literatur

• Allen Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge University Press, 2001, ISBN 978-0-521-79160-1 (englisch, cornell.edu). 
• Allen Hatcher: Vector Bundles and K-Theory. (englisch, cornell.edu [PDF]). 
• Glen Bredon: Topology and geometry,. Hrsg.: Graduate Texts in Mathematics. Springer Verlag, 1993 (englisch). 
• Donald Davis: Table of immersions and embeddings of real projective spaces. Abgerufen am 22. September 2011 (englisch). 

Weblinks

• Reeller projektiver Raum auf nLab (englisch)

Einzelnachweise

1. ↑ ^{a b} Allen Hatcher: Algebraic Topology. S. 6, Example 0.4. 
2. ↑ Allen Hatcher: Algebraic Topology. S. 377, Example 4.44. (englisch). 
3. ↑ projective space. Abgerufen am 31. Januar 2024 (englisch). 
4. ↑ real Hopf fibration. Abgerufen am 31. Januar 2024 (englisch). 
5. ↑ Siehe Don Davis für ein Literaturverzeichnis und eine Liste an bekannten Resultaten.
6. ↑ Allen Hatcher: Algebraic Topology. S. 293. 
7. ↑ Allen Hatcher: Algebraic Topology. S. 155, Exercise 2. 
8. ↑ ^{a b} Allen Hatcher: Algebraic Topology. S. 180. 
9. ↑ ^{a b} Michael Farber, Serge Tabachnikov, Sergey Yuzvinsky: Topological robotics: motion planning in projective spaces. 2. Oktober 2002, abgerufen am 31. Januar 2024 (englisch). 
10. ↑ cell structure of projective spaces. Abgerufen am 31. Januar 2024 (englisch). 
11. ↑ CW structure of real projective space. Abgerufen am 31. Januar 2024 (englisch). 
12. ↑ ^{a b} Allen Hatcher: Algebraic Topology. S. 376, Theorem 4.41. 
13. ↑ Allen Hatcher: Algebraic Topology. S. 380, Example 4.49. 
14. ↑ Homotopy of real projective space. Abgerufen am 31. Januar 2024 (englisch). 
15. ↑ Hatcher: Algebraic Topology. Chapter 2: Homology, Example 2.42, S. 144 (englisch). 
16. ↑ Homology of real projective space. Abgerufen am 30. Januar 2024 (englisch). 
17. ↑ Allen Hatcher: Algebraic Topology. S. 238, Corollary 3.28. 
18. ↑ J. T. Wloka, B. Rowley, B. Lawruk: Boundary Value Problems for Elliptic Systems. Cambridge University Press, 1995, ISBN 978-0-521-43011-1, S. 197 (englisch, google.com). 
19. ↑ Cohomology of real projective space. Abgerufen am 30. Januar 2024 (englisch). 
20. ↑ ^{a b} Allen Hatcher: Algebraic Topology. S. 213/220, Example 3.12/Theorem 3.19. 
21. ↑ Allen Hatcher: Vector Bundles and K-theory. S. 6–7. 
22. ↑ Allen Hatcher: Vector Bundles and K-theory. S. 11. 
23. ↑ ^{a b} real projective space. Abgerufen am 31. Januar 2024 (englisch). 
24. ↑ Allen Hatcher: Algebraic Topology. S. 19, Exercise 16. 
25. ↑ Allen Hatcher: Vector Bundles and K-theory. S. 29, Theorem 1.16. 
26. ↑ Allen Hatcher: Algebraic Topology. S. 88, Example 1B.3. 
27. ↑ Allen Hatcher: Algebraic Topology. S. 36, Proposition 1.20. 
28. ↑ Allen Hatcher: Vector Bundles and K-theory. S. 86, Proposition 3.10. 
29. ↑ John Milnor, James Stasheff: Characteristic Classes. S. 83, Theorem 7.1. 
30. ↑ Stiefel-Whitney class. Abgerufen am 18. Februar 2024 (englisch).