Satz von Hartogs (Mengenlehre)
In der Mengenlehre besagt der Satz von Hartogs (nach dem deutschen Mathematiker Fritz Hartogs, 1915), dass es zu jeder Menge A wenigstens eine wohlgeordnete Menge B gibt, deren Kardinalität nicht durch die Kardinalität von A beschränkt wird.
Bemerkenswert ist, dass diese Aussage bereits in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ZF gilt, also ohne Verwendung des Auswahlaxioms bewiesen werden kann. Daher kann man diesen Satz verwenden, wenn man Varianten des Auswahlaxioms untersucht. Die scheinbar komplizierte Formulierung ("Kardinalität von B ist nicht kleiner oder gleich der Kardinalität von A") ist hier notwendig, weil man ohne Auswahlaxiom nicht zeigen kann, dass zwei beliebige Mengen vergleichbar sind.
Formale Aussage
sei eine Menge gemäß der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ohne das Auswahlaxiom. Dann existiert eine Kardinalzahl (auch als Hartogs-Zahl von bezeichnet) derart, dass die Menge wohlgeordnet ist und folgendes gilt:
- ist die kleinste wohlgeordnete Kardinalzahl, welche nicht kleiner oder gleich der Kardinalität von ist (das heißt: welche sich nicht injektiv in die Menge abbilden lässt.)
Anmerkung
Im System ZFC (also ZF + Auswahlaxiom AC) ist der Satz von Hartogs uninteressant, weil eine stärkere Version als Korollar des Wohlordnungssatzes und des Satzes von Cantor folgt: Für jede Menge X ist die Kardinalität der Potenzmenge von X echt größer als die von X.
Literatur
- Friedrich Hartogs: Über das Problem der Wohlordnung. Mathematische Annalen Bd. 76, B. G. Teubner, Leipzig 1915
- Yannis P. Moschovakis: Notes on Set Theory. Springer Verlag, New York 2006, ISBN 0-387-28722-1
Weblinks
- Mathematische Annalen Bd. 76 bei digizeitschriften.de