Schubmodul

Physikalische Größe
Name	Schubmodul
Formelzeichen	G
Größen- und Einheitensystem Einheit Dimension SI Pa = N/m2 = kg·m−1·s−2 M·L−1·T−2 cgs Ba = dyn/cm2 = cm−1·g·s−2
Siehe auch: Elastizitätsmodul E Spannung (Mechanik) ${\displaystyle \sigma }$

Der Schubmodul ${\displaystyle G}$ (auch Gleitmodul, G-Modul, Schermodul oder Torsionsmodul) ist eine Materialkonstante, die Auskunft gibt über die linear-elastische Verformung eines Bauteils infolge einer Scherkraft oder Schubspannung. Die SI-Einheit ist Newton pro Quadratmeter (1 N/m² = 1 Pa), also die Einheit einer mechanischen Spannung. In Materialdatenbanken wird der Schubmodul üblicherweise in N/mm² (=MPa) oder kN/mm² (=GPa) angegeben.

Im Rahmen der Elastizitätstheorie entspricht der Schubmodul der zweiten Lamé-Konstanten und trägt dort das Symbol ${\displaystyle \mu }$.

Definition

Der Schubmodul beschreibt das Verhältnis zwischen der Schubspannung ${\displaystyle \tau }$ und dem Tangens des Schubwinkels ${\displaystyle \gamma }$ (Gleitung):

${\displaystyle \tau =G\cdot \tan \gamma }$

Für kleine Winkel ${\displaystyle \gamma }$ kann in erster Näherung ${\displaystyle \tan \gamma \approx \gamma }$ gesetzt werden (Kleinwinkelnäherung).

Diese Formel ist analog zum Hooke’schen Gesetz für den 1-achsigen Spannungszustand:

${\displaystyle \sigma =E\cdot \varepsilon }$

Die Schubsteifigkeit ist das Produkt aus dem Schubmodul ${\displaystyle G}$ des Werkstoffs und der Querschnittsfläche ${\displaystyle A}$:

${\displaystyle {\text{Schubsteifigkeit}}=G\cdot A\cdot \kappa \left(=G\cdot A_{S}\right),}$ zum Beispiel in ${\displaystyle \mathrm {N} }$

Der querschnittsabhängige Korrekturfaktor ${\displaystyle \kappa }$ berücksichtigt dabei die über den Querschnitt ungleichförmige Verteilung der Schubspannung ${\displaystyle \tau }$. Oft wird die Schubsteifigkeit auch mithilfe der Schubfläche ${\displaystyle A_{S}}$ ausgedrückt.

Bei Torsionsbelastung eines Bauteils berechnet sich seine Torsionssteifigkeit aus dem Schubmodul und dem Torsionsträgheitsmoment ${\displaystyle I_{\mathrm {T} }}$, das auf die Achse bezogen ist, um die der Körper tordiert wird:

${\displaystyle \mathrm {Torsionssteifigkeit_{T}} =G\cdot I_{\mathrm {T} },}$

analog zur Ermittlung der Dehnsteifigkeit (aus dem Produkt von Elastizitätsmodul und Querschnittsfläche).

Zusammenhang mit anderen Materialkonstanten

Bei einem isotropen Material steht der Schubmodul mit dem Elastizitätsmodul E, der Querkontraktionszahl ν (Poissonzahl) und dem Kompressionsmodul K in folgender Beziehung:

${\displaystyle G={\frac {1}{2(1+\nu )}}\cdot E={\frac {3KE}{9K-E}}={\frac {3(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}\cdot K}$

Für linear-elastisches, nicht-auxetisches Material ist die Poissonzahl größer-gleich null. Aus der Energieerhaltung ergibt sich die positive Definitheit von Kompressionsmodul und E-Modul. Daraus folgt, dass die Poissonzahl unter 0,5 liegt. ${\displaystyle \left(0\leq \nu <0{,}5\right)}$ Somit ergibt sich für den Schubmodul der meisten Materialien im linear-elastischen Bereich:

${\displaystyle {\frac {1}{3}}E<G\leq {\frac {1}{2}}E}$

Auxetische Materialien sind so definiert, dass sie eine negative Poissonzahl haben, was nur bei wenigen Materialien der Fall ist. Da der Schubmodul aufgrund der Energieerhaltung eine positiv definite Größe hat, gilt für auxetische Materialien im linear-elastischen Bereich:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}E<G_{\mathrm {aux} }<+\infty }$

Da auch der E-Modul positiv definit ist, ergibt sich für die Poissonzahl der Gültigkeitsbereich ${\displaystyle -1<\nu _{\mathrm {aux} }<0.}$

Umrechnung zwischen den elastischen Konstanten isotroper Festkörper

Der Modul…	…ergibt sich aus:[5]
	${\displaystyle (K,\,E)}$	${\displaystyle (K,\,\lambda )}$	${\displaystyle (K,\,G)}$	${\displaystyle (K,\,\nu )}$	${\displaystyle (E,\,\lambda )}$	${\displaystyle (E,\,G)}$	${\displaystyle (E,\,\nu )}$	${\displaystyle (\lambda ,\,G)}$	${\displaystyle (\lambda ,\,\nu )}$	${\displaystyle (G,\,\nu )}$	${\displaystyle (G,\,M)}$
Kompressionsmodul ${\displaystyle K\,}$	${\displaystyle K}$	${\displaystyle K}$	${\displaystyle K}$	${\displaystyle K}$	${\displaystyle (E+3\lambda )/6+}$${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {(E+3\lambda )^{2}-4\lambda E}}{6}}}$	${\displaystyle {\tfrac {EG}{3(3G-E)}}}$	${\displaystyle {\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}}$	${\displaystyle \lambda +}$${\displaystyle {\tfrac {2G}{3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}}$	${\displaystyle M-}$${\displaystyle {\tfrac {4G}{3}}}$
Elastizitätsmodul ${\displaystyle E\,}$	${\displaystyle E}$	${\displaystyle {\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}}$	${\displaystyle {\tfrac {9KG}{3K+G}}}$	${\displaystyle 3K(1-2\nu )\,}$	${\displaystyle E}$	${\displaystyle E}$	${\displaystyle E}$	${\displaystyle {\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}}$	${\displaystyle 2G(1+\nu )\,}$	${\displaystyle {\tfrac {G(3M-4G)}{M-G}}}$
1. Lamé-Konstante ${\displaystyle \lambda \,}$	${\displaystyle {\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}}$	${\displaystyle \lambda }$	${\displaystyle K-}$${\displaystyle {\tfrac {2G}{3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}}$	${\displaystyle \lambda }$	${\displaystyle {\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}}$	${\displaystyle {\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}}$	${\displaystyle \lambda }$	${\displaystyle \lambda }$	${\displaystyle {\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}}$	${\displaystyle M-2G\,}$
Schubmodul ${\displaystyle G}$ bzw. ${\displaystyle \mu }$ (2. Lamé-Konstante)	${\displaystyle {\tfrac {3KE}{9K-E}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}}$	${\displaystyle G}$	${\displaystyle {\tfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}}$	${\displaystyle (E-3\lambda )+}$${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {(E-3\lambda )^{2}+8\lambda E}}{4}}}$	${\displaystyle G}$	${\displaystyle {\tfrac {E}{2(1+\nu )}}}$	${\displaystyle G}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}}$	${\displaystyle G}$	${\displaystyle G}$
Poissonzahl ${\displaystyle \nu \,}$	${\displaystyle {\tfrac {3K-E}{6K}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}}$	${\displaystyle \nu }$	${\displaystyle -(E+\lambda )+}$${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {(E+\lambda )^{2}+8\lambda ^{2}}}{4\lambda }}}$	${\displaystyle {\tfrac {E}{2G}}}$${\displaystyle -1}$	${\displaystyle \nu }$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}}$	${\displaystyle \nu }$	${\displaystyle \nu }$	${\displaystyle {\tfrac {M-2G}{2M-2G}}}$
Longitudinalmodul ${\displaystyle M\,}$	${\displaystyle {\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}}$	${\displaystyle 3K-2\lambda \,}$	${\displaystyle K+}$${\displaystyle {\tfrac {4G}{3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {E-\lambda +{\sqrt {E^{2}+9\lambda ^{2}+2E\lambda }}}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}}$	${\displaystyle {\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}}$	${\displaystyle \lambda +2G\,}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1-\nu )}{\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}}$	${\displaystyle M}$

Siehe auch

• Komplexer Schubmodul
• Schubfestigkeit
• Schubfluss
• Kontinuumsmechanik
• Festigkeitslehre
• Rheometer
• Momenten-Magnituden-Skala

Weblinks

• Physikalisches Praktikum für Anfänger. (PDF; 146 kB) Uni Kiel.

Einzelnachweise

1. ↑ Crandall, Dahl, Lardner: An Introduction to the Mechanics of Solids. McGraw-Hill, Boston 1959. 
2. ↑ Eurocode 3: Stahlbau. Abgerufen am 7. Mai 2020. 
3. ↑ Matthew A. Hopcroft, William D. Nix, Thomas W. Kenny: What is the Young’s Modulus of Silicon? In: Journal of Microelectromechanical Systems. Band 19, Nr. 2, 2010, S. 229–238, doi:10.1109/JMEMS.2009.2039697. 
4. ↑ Berechnung des Schubmoduls von Gläsern (englisch).
5. ↑ G. Mavko, T. Mukerji, J. Dvorkin: The Rock Physics Handbook. Cambridge University Press, 2003, ISBN 0-521-54344-4 (paperback).