Scott-Topologie

Die Scott-Topologie, benannt nach Dana Scott, ist eine Topologie, die sich aus der Halbordnung auf einer halbgeordneten Menge ergibt.^[1] Sie spielt unter anderem in der theoretischen Informatik eine Rolle.

Definition

Es sei ${\displaystyle (A,\sqsubseteq )}$ eine Menge mit Halbordnung. Eine Teilmenge ${\displaystyle U\subseteq A}$ heißt Scott-abgeschlossen, falls

• ${\displaystyle U}$ bezüglich ${\displaystyle \sqsubseteq }$ eine Unterhalbmenge ist, das heißt mit jedem Element auch jedes bzgl. der Halbordnung kleinere enthält, und
• für alle gerichteten ${\displaystyle M\subseteq U}$, die in ${\displaystyle (A,\sqsubseteq )}$ ein Supremum ${\displaystyle \bigsqcup M}$ haben, ist ${\displaystyle \bigsqcup M\in U}$.

Die so definierten Scott-abgeschlossenen Mengen sind genau die abgeschlossenen Mengen der Scott-Topologie auf ${\displaystyle (A,\sqsubseteq )}$.

Eigenschaften

Im Folgenden seien ${\displaystyle (A,\sqsubseteq _{A})}$ und ${\displaystyle (B,\sqsubseteq _{B})}$ halbgeordnete Mengen, und sie seien mit der jeweiligen Scott-Topologie ausgestattet.

• Ist ${\displaystyle f\colon A\to B}$ eine stetige Abbildung, so ist ${\displaystyle f}$ monoton.
• Eine Abbildung ${\displaystyle f\colon A\to B}$ ist genau dann stetig, wenn ${\displaystyle f}$ gerichtete Suprema erhält, d. h. für alle gerichteten ${\displaystyle M\subseteq A}$ mit Supremum ${\displaystyle \bigsqcup M}$ ist ${\displaystyle \bigsqcup (f(M))=f(\bigsqcup M)}$.

Literatur

S. Abramksy, A. Jung: Handbook of Logic in Computer Science. Vol. III. Oxford University Press, 1994, ISBN 0-19-853762-X, Domain theory (bham.ac.uk [PDF]). 

Weblinks

Scott topology, Eintrag im nLab. (englisch)

Einzelnachweise

1. ↑ Dana Scott Continuous lattices, in Lawvere Toposes, Algebraic Geometry and Logic, Lecture Notes in Mathematics 274. Springer-Verlag 1972