Sorgenfrey-Gerade

Die Sorgenfrey-Gerade ist ein nach dem Mathematiker Robert Henry Sorgenfrey benanntes Beispiel aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie.

Definition

Die Sorgenfrey-Gerade ${\displaystyle R}$ ist derjenige topologische Raum, der auf der Menge ${\displaystyle \mathbb {R} }$ von allen halboffenen Intervallen ${\displaystyle [a,b)}$ als Basis erzeugt wird, das heißt, die offenen Mengen dieses Raums sind die als beliebige Vereinigung halboffener Intervalle ${\displaystyle [a,b)}$ darstellbaren Mengen.

Bemerkungen

• Ersetzt man die halboffenen Intervalle ${\displaystyle [a,b)}$ durch ${\displaystyle (a,b]}$, so kann man eine analoge Konstruktion durchführen. Man erhält einen zur Sorgenfrey-Geraden homöomorphen Raum, ${\displaystyle x\mapsto -x}$ ist offenbar ein Homöomorphismus.
• Das Produkt ${\displaystyle R^{2}=R\times R}$ heißt Sorgenfrey-Ebene und ist ebenfalls ein wichtiges Beispiel in der Topologie.

Beispiele offener Mengen

Alle Mengen der Form

${\displaystyle (-\infty ,a)=\bigcup _{n=0}^{\infty }[a-n,a)}$

${\displaystyle [a,\infty )=\bigcup _{n=0}^{\infty }[a,a+n)}$

sind offen. Daher sind die Mengen ${\displaystyle [a,b)}$ nicht nur offen, sondern wegen ${\displaystyle [a,b)=\mathbb {R} \setminus ((-\infty ,a)\cup [b,\infty ))}$ auch abgeschlossen, das heißt ${\displaystyle R}$ besitzt eine Basis aus offen-abgeschlossenen Mengen.

Jedes bezüglich der euklidischen Topologie offene Intervall ${\displaystyle (a,b)}$ ist auch offen bezüglich der Topologie der Sorgenfrey-Geraden, denn

${\displaystyle (a,b)=\bigcup _{n=1}^{\infty }\left[a+{\frac {1}{n}},b\right)}$.

Eigenschaften

Die Sorgenfrey-Gerade ${\displaystyle R}$ hat folgende Eigenschaften:

• ${\displaystyle R}$ ist ein perfekt normaler Raum.
• ${\displaystyle R}$ hat die Lebesgue’sche Überdeckungsdimension 0.
• ${\displaystyle R}$ ist total unzusammenhängend.
• ${\displaystyle R}$ ist nicht diskret, denn eine einelementige Menge enthält keine Basismenge. Die Topologie der Sorgenfrey-Geraden ist aber echt feiner als die euklidische Topologie auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• ${\displaystyle R}$ ist separabel (${\displaystyle \mathbb {Q} }$ liegt dicht, denn jede Basismenge enthält eine rationale Zahl), genügt dem ersten Abzählbarkeitsaxiom (die Mengen ${\displaystyle \textstyle \left[a,a+{\frac {1}{n}}\right)}$ bilden eine Umgebungsbasis von ${\displaystyle a\in R}$), aber nicht dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom.
• ${\displaystyle R}$ ist nicht metrisierbar, denn für metrische Räume folgt aus der Separabilität das zweite Abzählbarkeitsaxiom.
• ${\displaystyle R}$ ist parakompakt, aber weder σ-kompakt noch lokalkompakt.

Literatur

• Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung (= BI-Hochschultaschenbücher. Band 121). Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1978, ISBN 3-411-00121-6. 
• Lynn Arthur Steen, J. Arthur Seebach: Counterexamples in Topology. 2. Auflage. Springer, New York u. a. 1978, ISBN 0-387-90312-7.