Stolarsky-Mittel

In der Mathematik ist der Stolarskysche Mittelwert oder kurz das Stolarsky-Mittel ein von Kenneth B. Stolarsky[1] eingeführter Mittelwert, der das logarithmische Mittel verallgemeinert.

Für zwei Zahlen x , y {\displaystyle x,y} und einen Parameter p {\displaystyle p} ist das Stolarsky-Mittel definiert als

S p ( x , y ) = lim ( ξ , η ) → ( x , y ) ( ξ p − η p p ( ξ − η ) ) 1 p − 1 = { x falls  x = y ( x p − y p p ( x − y ) ) 1 p − 1 sonst {\displaystyle S_{p}(x,y)\,=\,\lim _{(\xi ,\eta )\to (x,y)}\left({\frac {\xi ^{p}-\eta ^{p}}{p(\xi -\eta )}}\right)^{1 \over p-1}\,=\,{\begin{cases}x&{\mbox{falls }}x=y\\\left({\frac {x^{p}-y^{p}}{p(x-y)}}\right)^{1 \over p-1}&{\mbox{sonst}}\end{cases}}} [2][3]

Dabei ist der Grenzwert über alle Paare ( ξ , η ) {\displaystyle (\xi ,\eta )} mit ξ ≠ η {\displaystyle \xi \not =\eta } zu bilden. Im Falle x = y {\displaystyle x=y} ist der Grenzwert die 1 p − 1 {\displaystyle {1 \over p-1}} -te Potenz des Differentialquotienten der Funktion x ↦ x p p {\displaystyle x\mapsto {\frac {x^{p}}{p}}} und stimmt daher tatsächlich, wie angegeben, mit x {\displaystyle x} überein.

Spezialfälle

Das Stolarsky-Mittel hat folgende Spezialfälle:

S − ∞ ( x , y ) {\displaystyle S_{-\infty }(x,y)} = min { x , y } {\displaystyle \,={\text{min}}\{x,y\}} Minimum (Grenzwert!)
S − 1 ( x , y ) {\displaystyle \,S_{-1}(x,y)} = x y {\displaystyle ={\sqrt {xy}}} Geometrisches Mittel
S 0 ( x , y ) {\displaystyle \,S_{0}(x,y)} = x − y log ⁡ x − log ⁡ y {\displaystyle ={\frac {x-y}{\log x-\log y}}} Logarithmisches Mittel (Grenzwert!)
S 1 2 ( x , y ) {\displaystyle S_{\frac {1}{2}}(x,y)} = ( x + y 2 ) 2 {\displaystyle =\left({\frac {{\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}}{2}}\right)^{2}} Hölder-Mittel mit 1/2
S 1 ( x , y ) {\displaystyle \,S_{1}(x,y)} = 1 e ( y y x x ) 1 y − x {\displaystyle ={\frac {1}{e}}\left({\frac {y^{y}}{x^{x}}}\right)^{\frac {1}{y-x}}} identric mean[4] (Grenzwert!)
S 2 ( x , y ) {\displaystyle \,S_{2}(x,y)} = x + y 2 {\displaystyle ={\frac {x+y}{2}}} Arithmetisches Mittel
S ∞ ( x , y ) {\displaystyle S_{\infty }(x,y)} = max { x , y } {\displaystyle =\,{\text{max}}\{x,y\}} Maximum (Grenzwert!)

Gewichtetes Stolarsky-Mittel

Das Stolarsky-Mittel lässt sich auch gewichten:[5]

S ω 1 , ω 2 ( x , y ) = ( ω 2 ⋅ ( x ω 1 − y ω 1 ) ω 1 ⋅ ( x ω 2 − y ω 2 ) ) 1 ω 1 − ω 2 {\displaystyle S_{\omega _{1},\omega _{2}}(x,y)=\left({\frac {\omega _{2}\cdot (x^{\omega _{1}}-y^{\omega _{1}})}{\omega _{1}\cdot (x^{\omega _{2}}-y^{\omega _{2}})}}\right)^{\frac {1}{\omega _{1}-\omega _{2}}}}

Referenzen

  • Horst Alzer: Bestmögliche Abschätzungen für spezielle Mittelwerte. (PDF; 141 kB)
  • Horst Alzer: Ungleichungen für Mittelwerte. In: Archiv der Mathematik, Vol. 47 (5), November 1986, springerlink.com
  • Edward Neumann: Stolarski Means of Several Variables (PDF; 254 kB) In: Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, Vol. 6, 2(30), 2005.
  • Thomas Riedel, Prasanna K. Sahoo: A characterization of the Stolarsky mean. In: Aequationes Mathematicae, 70, Nr. 1/2, Sept. 2005, springerlink.com

Einzelnachweise

  1. ↑ Kenneth B. Stolarsky: Generalizations of the logarithmic mean. In: Mathematics Magazine, Vol. 48, No. 2, März, 1975, S. 87–92
  2. ↑ Eric W. Weisstein: Stolarsky mean. In: MathWorld (englisch).
  3. ↑ Julian Havil: Gamma: Eulers Konstante, Primzahlstrände und die Riemannsche Vermutung. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-48495-0
  4. ↑ Eric W. Weisstein: Identric Mean. In: MathWorld (englisch).
  5. ↑ Laszlo Losonczi: Ratio of Stolarsky means: monotonicity and comparison