Tate-Shafarevich-Gruppe

In der Mathematik misst die Tate-Shafarevich-Gruppe das Scheitern des Lokal-Global-Prinzips für elliptische Kurven und allgemeiner abelsche Varietäten.

Für eine über einem Zahlkörper K {\displaystyle K} definierte abelsche Varietät A {\displaystyle A} wird die Tate-Shafarevich-Gruppe mit Ш(K,A) (gesprochen: Scha) bezeichnet.

Die Tate-Shafarevich-Gruppe ist eine abelsche Torsionsgruppe. Die auf John T. Tate und Igor Rostislawowitsch Schafarewitsch zurückgehende Tate-Shafarevich-Vermutung besagt, dass Ш(K,A) endlich ist.

Scheitern des Lokal-Global-Prinzips

Für quadratische Formen gilt das Lokal-Global-Prinzip: Wenn eine über den rationalen Zahlen definierte quadratische Form Q {\displaystyle Q} Lösungen von Q ( x 1 , … , x n ) = 0 {\displaystyle Q(x_{1},\ldots ,x_{n})=0} in allen p {\displaystyle p} -adischen Vervollständigungen (einschließlich der reellen Zahlen für p = ∞ {\displaystyle p=\infty } ) hat, dann hat sie auch Lösungen in den rationalen Zahlen. Dies gilt allgemeiner auch für Zahlkörper K {\displaystyle K} und ihre Vervollständigungen K v {\displaystyle K_{v}} : Wenn es Lösungen in allen Vervollständigungen gibt, dann gibt es Lösungen in K {\displaystyle K} .

Für elliptische Kurven und allgemeiner abelsche Varietäten gilt dieses Prinzip nicht.

Weil sich K {\displaystyle K} -rationale Punkte auf einer abelschen Varietät A {\displaystyle A} durch die Kohomologiegruppe H 1 ( K , A ) {\displaystyle H^{1}(K,A)} beschreiben lassen, entspricht das Scheitern des Lokal-Global-Prinzips der Nicht-Injektivität von H 1 ( K , A ) → Π v H 1 ( K v , A ) {\displaystyle H^{1}(K,A)\to \Pi _{v}H^{1}(K_{v},A)} , wobei das Produkt über alle Vervollständigungen K v {\displaystyle K_{v}} gebildet wird. Man definiert deshalb die Tate-Shafarevich-Gruppe als

Ш ( K , A ) = k e r ( H 1 ( K , A ) → Π v H 1 ( K v , A ) ) {\displaystyle {\mbox{Ш}}(K,A)=\mathrm {ker} (H^{1}(K,A)\to \Pi _{v}H^{1}(K_{v},A))} .

Literatur

  • Serge Lang, John Tate: Principal homogeneous spaces over abelian varieties, American Journal of Mathematics, 80 (3): 659–684, 1958
  • Igor Shafarewitsch: The group of principal homogeneous algebraic manifolds, Doklady Akademii Nauk SSSR (russisch), 124: 42–43, 1959