Valley-Entartung

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Valley-Entartung ist in der Festkörperphysik das Auftreten entarteter Zustände, die zu Wellenvektoren in verschiedenen Kristallrichtungen gehören. Der dazugehörige Entartungsfaktor wird häufig mit ${\displaystyle g_{v}}$ bezeichnet. Wenn man die Flächen konstanter Energie (analog zur Fermifläche) nahe dem Energieminimum in einem Diagramm darstellt, zeigen sich die Umgebungen der Energieminima als Senken (Valleys). Der Entartungsfaktor ${\displaystyle g_{v}}$ ist die Anzahl vollständiger Umgebungen in der ersten Brillouinzone.

Die Entartung kann in der quantenmechanischen Betrachtung als Pseudo-Spin beschrieben und in der Dirac-Gleichung durch die Pauli-Matrizen berücksichtigt werden.

Beispiele

Galliumarsenid

Das energetische Minimum der Leitungsband-Struktur von Galliumarsenid liegt beim Wellenvektor ${\displaystyle {\vec {k}}={\vec {0}}}$ und die Flächen konstanter Energie um das Minimum herum bilden Kugelflächen. In der ersten Brillouin-Zone befindet sich nur ein Minimum, daher ist derEntartungsfaktor ${\displaystyle g_{v}=1}$.

Silizium

In Silizium liegt das Energieminimum in ${\displaystyle (100)}$-Richtung. Aufgrund der Kristallsymmetrie sind in der Bandstruktur die sechs Richtungen mit den millerschen Indizes ${\displaystyle \{(100),({\bar {1}}00),(010),(0{\bar {1}}0),(001),(00{\bar {1}})\}}$ äquivalent. Somit liegen in der ersten Brillouin-Zone sechs Minima und es ergibt sich ein Entartungsfaktor von ${\displaystyle g_{v}=6}$.

Germanium

Bei Germanium treten die Energieminima in der ${\displaystyle (111)}$-Richtung und ihren Äquivalenten mit den millerschen Indizes ${\displaystyle \{({\bar {1}}11),(1{\bar {1}}1),(11{\bar {1}}),({\bar {1}}{\bar {1}}1),({\bar {1}}1{\bar {1}}),(1{\bar {1}}{\bar {1}})({\bar {1}}{\bar {1}}{\bar {1}})\}}$ insgesamt achtmal auf. Da diese Minima am Rand der ersten Brillouin-Zone liegen, werden sie nur anteilig gezählt. Durch Verschiebung um reziproke Gittervektoren, lassen sich die Umgebungen der entarteten Zustände auf die Umgebungen von vier unterschiedliche Zuständen in der ersten Brillouin-Zone erzeugen. Daher ist der Entartungsfaktor ${\displaystyle g_{v}=4}$^[1].

Graphen

Graphen hat eine sogenannte Zwei-Valley-Struktur, also ${\displaystyle g_{v}=2}$.

Einzelnachweise

1. ↑ S.M. Sze: Physics of Semiconductor Devices. Second Edition Wiley-Interscience, p. 14.