Conjunto barrilado

En análisis funcional, un subconjunto de un espacio vectorial topológico (EVT) se denomina barrilado si está cerrado y es convexo, equilibrado y absorbente.^[1]​

Los conjuntos barrilados desempeñan un papel importante en las definiciones de varias clases de espacios vectoriales topológicos, como los espacios barrilados.

Definiciones

Sea ${\displaystyle X}$ un espacio vectorial topológico (EVT). Un subconjunto de ${\displaystyle X}$ se llama barrilado si está cerrado y es convexo, equilibrado y absorbente en ${\displaystyle X.}$ Un subconjunto de ${\displaystyle X}$ se llama bornívoro^[2]​ si absorbe cada subconjunto acotado de ${\displaystyle X.}$ Cada subconjunto bornívoro de ${\displaystyle X}$ es necesariamente un subconjunto absorbente de ${\displaystyle X.}$

Sea ${\displaystyle B_{0}\subseteq X}$ un subconjunto de un espacio vectorial topológico ${\displaystyle X.}$ Si ${\displaystyle B_{0}}$ es un subconjunto absorbente y equilibrado de ${\displaystyle X}$; y si existe una sucesión ${\displaystyle \left(B_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ de subconjuntos absorbentes equilibrados de ${\displaystyle X}$ tal que ${\displaystyle B_{i+1}+B_{i+1}\subseteq B_{i}}$ para todos los ${\displaystyle i=0,1,\ldots ,}$ entonces ${\displaystyle B_{0}}$ se denomina suprabarrilado^[3]​ en ${\displaystyle X,}$ donde además, se dice que ${\displaystyle B_{0}}$ es un(a):

• Suprabarrilado bornívoro si además cada ${\displaystyle B_{i}}$ es un cerrado y subconjunto bornivoro de ${\displaystyle X}$ para cada ${\displaystyle i\geq 0.}$^[3]​
• Ultrabarrilado si además cada ${\displaystyle B_{i}}$ es un subconjunto cerrado de ${\displaystyle X}$ por cada ${\displaystyle i\geq 0.}$^[3]​
• Ultrabarrilado bornívoro si además cada ${\displaystyle B_{i}}$ es un subconjunto cerrado y bornívoro de ${\displaystyle X}$ para cada ${\displaystyle i\geq 0.}$^[3]​

En este caso, ${\displaystyle \left(B_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ se denomina la sucesión definitoria de ${\displaystyle B_{0}.}$^[3]​

Propiedades

Téngase en cuenta que cada ultrabarril bornívoro es un ultrabarril, y que cada suprabarril bornívoro es un suprabarril.

Ejemplos

• En un espacio vectorial normado la 1-esfera cerrada es un conjunto barrilado.
• Cada espacio localmente convexo tiene una base de entornos que consta de conjuntos barrilados, aunque el espacio en sí no tiene por qué ser un espacio barrilado.

Véase también

• Espacio barrilado
• Topologías en espacios de aplicaciones lineales
• Espacio ultrabarrilado

Referencias

Bibliografía

• Hogbe-Nlend, Henri (1977). Bornologies and functional analysis. Amsterdam: North-Holland Publishing Co. pp. xii+144. ISBN 0-7204-0712-5. MR 0500064. 
• Khaleelulla, S. M. (1982). Counterexamples in Topological Vector Spaces. Lecture Notes in Mathematics 936. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370. 
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834. 
• H.H. Schaefer (1970). Topological Vector Spaces. GTM 3. Springer Science+Business Media. ISBN 0-387-05380-8. 
• Khaleelulla, S.M. (1982). Counterexamples in Topological Vector Spaces. GTM 936. Berlin Heidelberg: Springer Science+Business Media. pp. 29-33, 49, 104. ISBN 9783540115656. 
• Kriegl, Andreas; Michor, Peter W. (1997). The Convenient Setting of Global Analysis. Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society. ISBN 9780821807804.