Conjunto de nivel

Sea ${\displaystyle H}$ un conjunto y ${\displaystyle f:H\to \mathbb {R} }$ un campo escalar sobre ${\displaystyle H}$. El conjunto de nivel ${\displaystyle C_{k}}$ para la función ${\displaystyle f}$ es el subconjunto de puntos ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle H}$ para los cuales ${\displaystyle f(x)=k}$.

En símbolos:

${\displaystyle C_{k}=\left\{x\in H\ |\ f(x)=k\right\}.}$

Un conjunto de nivel puede coincidir con el conjunto vacío.

• Si ${\displaystyle H=\mathbb {R} ^{2}}$ los conjuntos de nivel son en general curvas y se las llama curvas de nivel.
• Si ${\displaystyle H=\mathbb {R} ^{3}}$ los conjuntos de nivel suelen ser superficies y se les llama superficies de nivel.
• Para dimensiones mayores, no se cuenta con una representación gráfica de estos conjuntos.

Aplicaciones

• En cartografía, las curvas de nivel unen los puntos de un mapa que se encuentran a la misma altura (cota). Cuando representan los puntos de igual profundidad en el océano y en el mar, así como en lagos de grandes dimensiones, se denominan isóbatas
• En meteorología, las curvas de nivel se suelen usar para unir puntos que tienen la misma presión (isobaras).
• En electromagnetismo, las curvas o superficies de nivel pueden representar conjuntos que tienen un mismo potencial.

Conjuntos de nivel y gradientes

Si el conjunto ${\displaystyle H}$ coincide con ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ y el campo escalar ${\displaystyle f}$ es de clase ${\displaystyle C^{1}}$ entonces los vectores gradiente del campo escalar son ortogonales a los conjuntos de nivel en el siguiente sentido: Sea ${\displaystyle C_{k}}$ un conjunto de nivel y ${\displaystyle c:I\subset \mathbb {R} \to C_{k}}$ una curva diferenciable. Los vectores gradiente del campo ${\displaystyle f}$ sobre la curva, son ortogonales a los vectores velocidad de la curva.

En efecto, para todo ${\displaystyle t}$ en ${\displaystyle I}$,

${\displaystyle f(c(t))=k\,.}$

Derivando respecto de ${\displaystyle t}$ se obtiene (usando la derivada de una composición de funciones)

${\displaystyle \nabla f(c(t))\cdot c'(t)=0}$

En particular, las curvas integrales asociadas al campo vectorial generado por el gradiente de ${\displaystyle f}$ son "ortogonales" a los conjuntos de nivel asociadas a dicha función.

En física, estas curvas integrales se las suele llamar líneas de campo o líneas de fuerza, según el contexto.