Curvatura escalar de Ricci

En matemáticas, la curvatura escalar de una superficie es el doble de la familiar curvatura gaussiana. Para las variedades riemannianas de dimensión más alta (n > 2), es el doble de la suma de todas las curvaturas seccionales a lo largo de todos los 2-planos atravesados por un cierto marco ortonormal. Matemáticamente, la curvatura escalar o escalar de curvatura, que suele designarse con las letras R o S, coincide también la traza total de la curvatura de Ricci así como del tensor de curvatura.

Expresión en componentes

El escalar de curvatura de Ricci R puede expresarse fácilmente en términos del tensor métrico ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$(y sus primeras derivadas ) que define la geometría de la superficie o variedad riemanniana cuyo escalar de curvatura pretendemos encontrar, usando el convenio de sumación de Einstein:

${\displaystyle R=-g^{\mu \nu }\left[\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }\Gamma _{\lambda \sigma }^{\sigma }-\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }\Gamma _{\nu \lambda }^{\sigma }\right]-\partial _{\nu }\left[g^{\mu \nu }\Gamma _{\mu \sigma }^{\sigma }-g^{\mu \sigma }\Gamma _{\mu \sigma }^{\nu }\right]}$

Donde los símbolos de Christoffel que aparecen en la expresión anterior se calculan a partir de las primeras derivadas de los componentes del tensor métrico:

${\displaystyle \Gamma _{kl}^{i}={\frac {1}{2}}g^{im}\left({\frac {\partial g_{mk}}{\partial x^{l}}}+{\frac {\partial g_{ml}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial g_{kl}}{\partial x^{m}}}\right)}$

Bibliografía

• Lee, J. M. Riemannian manifolds: an introduction to curvature. GTM 176. ISBN 0-387-98271-X.
• Wald, R. M. General Relativity, University of Chicago Press, 1984. ISBN 0-226-87033-2.