Espacio medible

En matemáticas, un espacio medible o espacio de Borel^[1]​ es un objeto básico en la teoría de la medida. Consiste en un conjunto y un σ-álgebra, que define los subconjuntos que se medirán.

Definición

Considere un conjunto ${\displaystyle X}$ y una σ-álgebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ en ${\displaystyle X}$ . Entonces el par ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ se llama espacio medible.^[2]​

Tenga en cuenta que, a diferencia de un espacio de medida, no se necesita ninguna medida para un espacio medible.

Ejemplo

Dado el conjunto

${\displaystyle X=\{1,2,3\}.}$

Un posible ${\displaystyle \sigma }$ -álgebra sería

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}=\{X,\emptyset \}.}$

Entonces ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}}_{1})}$ es un espacio medible. Otro posible ${\displaystyle \sigma }$ -álgebra sería el conjunto potencia en ${\displaystyle X}$ :

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}={\mathcal {P}}(X).}$

Con esto, un segundo espacio medible en el conjunto ${\displaystyle X}$ es dado por ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}}_{2})}$ .

Espacios medibles comunes

Si ${\displaystyle X}$ es finito o infinito numerable, se toma la mayoría de las veces como ${\displaystyle \sigma }$-álgebra el conjunto potencia de ${\displaystyle X}$. Esto conduce al espacio medible ${\displaystyle (X,{\mathcal {P}}(X))}$.

Si ${\displaystyle X}$ es un espacio topológico, se toma comúnmente el ${\displaystyle \sigma }$-álgebra de Borel ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$. Esto conduce al espacio medible ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}}(X))}$ que es común para todos los espacios topológicos, por ejemplo, los números reales ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Ambigüedad con espacios Borel

El término espacio Borel se usa para diferentes tipos de espacios medibles. Puede referirse a

• cualquier espacio medible, por lo que es sinónimo de espacio medible como se define anteriormente^[1]​
• un espacio medible que es Borel isomorfo a un subconjunto medible de los números reales (nuevamente con el Borel ${\displaystyle \sigma }$ -álgebra)^[3]​

Referencias