Función de Dirichlet

Si ${\displaystyle c,d\in \mathbb {R} ,\,c\neq d}$, se define la función de Dirichlet como:

${\displaystyle D(x)={\begin{cases}c&{\text{si }}x\in \mathbb {Q} \\d&{\text{si }}x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \\\end{cases}}}$

Para probar que ${\displaystyle D}$ no es continua en un punto ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$, necesitamos ver que ${\displaystyle \exists \varepsilon >0:\forall \delta >0,\,\exists y\in ]x-\delta ,x+\delta [}$ tal que ${\displaystyle \vert D(x)-D(y)\vert \geq \varepsilon }$.

• Si ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} }$, entonces ${\displaystyle D(x)=1}$. Podemos tomar ${\displaystyle \varepsilon ={\frac {1}{2}}}$. Como los irracionales son densos en ${\displaystyle \mathbb {R} }$, no importa qué ${\displaystyle \delta }$ tomemos, podemos asegurar la existencia de un ${\displaystyle y\in ]x-\delta ,x+\delta [\cap (\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )}$ tal que ${\displaystyle \vert D(x)-D(y)\vert =\vert 1-0\vert =1\geq \varepsilon }$.

• Si ${\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$, entonces ${\displaystyle D(x)=0}$. Podemos tomar de nuevo ${\displaystyle \varepsilon ={\frac {1}{2}}}$. Como los racionales son densos en ${\displaystyle \mathbb {R} }$, no importa qué ${\displaystyle \delta }$ tomemos, podemos asegurar la existencia de un ${\displaystyle y\in ]x-\delta ,x+\delta [\cap (\mathbb {Q} )}$ tal que ${\displaystyle \vert D(x)-D(y)\vert =\vert 0-1\vert =1\geq \varepsilon }$.