Función gamma elíptica

En matemática, la función gamma elíptica es una generalización de la función q-gamma, la cual es en sí misma un q-análogo de la función gamma ordinaria. Está íntimamente relacionada con la función estudiada por Jackson (1905), y puede ser expresada en términos de la función gamma triple.

Su representación es la siguiente:

${\displaystyle \Gamma (z;p,q)=\prod _{m=0}^{\infty }\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-p^{m+1}q^{n+1}/z}{1-p^{m}q^{n}z}}.}$

Esta obedece varias identidades:

${\displaystyle \Gamma (z;p,q)={\frac {1}{\Gamma (pq/z;p,q)}}\,}$

${\displaystyle \Gamma (pz;p,q)=\theta (z;q)\Gamma (z;p,q)\,}$

y

${\displaystyle \Gamma (qz;p,q)=\theta (z;p)\Gamma (z;p,q),\,}$

donde θ es la función q-theta.

Cuando ${\displaystyle p=0}$, ésta esencialmente se reduce al símbolo q-Pochhammer infinito:

${\displaystyle \Gamma (z;0,q)={\frac {1}{(z;q)_{\infty }}}.}$

Referencias

• Jackson, F. H. (1905), «The Basic Gamma-Function and the Elliptic Functions», Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character (The Royal Society) 76 (508): 127-144, ISSN 0950-1207 .
• Gasper, George; Rahman, Mizan (2004), Basic hypergeometric series, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 96 (2º edición), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-83357-8, MR 2128719 .
• Ruijsenaars, S. N. M. (1997), «First order analytic difference equations and integrable quantum systems», Journal of Mathematical Physics 38 (2): 1069-1146, ISSN 0022-2488, MR 1434226 .