Isotopía del ambiente

En matemática, y más concretamente en topología, diremos que dos embebimientos o encajes ${\displaystyle f,g:V\rightarrow M}$ son isotópicos si podemos pasar de uno al otro a través de una serie de pasos intermedios, por medio de una deformación del espacio ambiente. A la deformación citada se le denomina isotopía del ambiente o simplemente, isotopía de M.

Más concretamente, una isotopía del ambiente consistirá en una familia uniparamétrica continua de homeomorfismos ${\displaystyle H_{t}\,}$ del espacio ambiente M, de modo que ${\displaystyle H_{0}=Id_{M}\,}$ y ${\displaystyle H_{1}\circ f=g.}$.

Si lo relacionamos con el concepto de homotopía, podemos decir que H es una homotopía que lleva la identidad en el homeomorfismo que transforma f en g.

El que dos embebimientos sean isotópicos de algún modo nos indica que embeben a V de la misma forma. De acuerdo con E. C. Zeeman, el problema del anudamiento, es decir, el responder a la pregunta "¿cuándo dos embebimientos son isotópicos?" es uno de los tres problemas clásicos de topología y uno de los más duros.

En topología geométrica, por ejemplo en teoría de nudos, la idea de isotopía se usa para construir relaciones de equivalencia. Por ejemplo, dos nudos K1 y K2 del espacio tridimensional se consideran equivalentes si podemos deformar uno en otro atravesando un camino de homeomorfismos que se corresponde con la definición de isotopía: empezando por el homeomorfismo identidad del espacio tridimensional y terminando en un homeomorfismo H₁ que lleva K1 en K2.

Referencias

• Hirsch, M. W., Differential Topology. Graduate text in mathematics; 33. Springer-Verlag 1976. ISBN 0-387-90148-5. (capítulo 8).
• Epstein, D.B.A., Curves on 2-manifolds and isotopies, Acta Math. 115 (83-107) 1966.