Matriz traspuesta conjugada

En matemáticas, la matriz transpuesta conjugada, matriz adjunta o simplemente adjunta de una matriz ${\displaystyle A}$, es una matriz ${\displaystyle A^{\dagger }}$(también denotada como ${\displaystyle A^{*}}$, o como ${\displaystyle A^{H}}$) obtenida de A mediante la obtención de su transpuesta y después de su conjugada compleja.

El traspuesto conjugado de una matriz ${\displaystyle A=(a_{ij})\in \mathbb {C} }$ es definido como ${\displaystyle A^{*}=({\bar {a}}_{ji})}$, que es el traspuesto de ${\displaystyle A}$ y todos los elementos ${\displaystyle a_{ij}}$ conjugados. Nota que si ${\displaystyle A=(a_{ij})\in \mathbb {R} \Rightarrow A^{*}=A^{T}}$, es decir, si los elementos de ${\displaystyle A}$ son reales, la adjunta de ${\displaystyle A}$ coincide con su traspuesta. También nombrado hermítico adjunto, la hermítica o hermítico conjugado. El nombre viene del matemático Charles Hermite.

Definición

Si ${\displaystyle \mathbf {A} }$ es una matriz de n x m sobre los complejos: ${\displaystyle A\in M_{n\times m}(\mathbb {C} )}$ de la forma:

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1m}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots &a_{2m}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\cdots &a_{3m}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\cdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\cdots &a_{nm}\\\end{pmatrix}}}$

Entonces la adjunta se obtiene tomando el complejo conjugado de cada elemento y después permutando de filas por columnas o viceversa en la matriz ${\displaystyle \mathbf {A} }$, produce a la matriz traspuesta:

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\dagger }={\begin{pmatrix}{\bar {a}}_{11}&{\bar {a}}_{21}&{\bar {a}}_{31}&\cdots &{\bar {a}}_{n1}\\{\bar {a}}_{12}&{\bar {a}}_{22}&{\bar {a}}_{32}&\cdots &{\bar {a}}_{n2}\\{\bar {a}}_{13}&{\bar {a}}_{23}&{\bar {a}}_{33}&\cdots &{\bar {a}}_{n3}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\bar {a}}_{1m}&{\bar {a}}_{2m}&{\bar {a}}_{3m}&\cdots &{\bar {a}}_{nm}\\\end{pmatrix}}}$

Ejemplo

Una matriz ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}2i&6-i\\3+i&4\end{pmatrix}}}$ tiene el traspuesto conjugado ${\displaystyle A^{\dagger }={\begin{pmatrix}-2i&3-i\\6+i&4\end{pmatrix}}}$

Propiedades

Una matriz cuadrada ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\dagger }}$ será una matriz autoadjunta, si y solo sí, n = m y ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\dagger }=\mathbf {A} }$. Sean además A y B matrices apropiadas para las siguientes operaciones, a partir de la definición se tienen las siguientes propiedades:

1. ${\displaystyle (A^{\dagger })^{\dagger }=A}$, involución.
2. ${\displaystyle (A+B)^{\dagger }=A^{\dagger }+B^{\dagger }}$, adición de matrices.
3. ${\displaystyle \forall r\in \mathbb {C} ,\quad (rA)^{\dagger }=r^{*}A^{\dagger }}$, producto por escalares.
4. ${\displaystyle (AB)^{\dagger }=B^{\dagger }A^{\dagger }}$, inversión de la multiplicación
5. ${\displaystyle (A^{-1})^{\dagger }=(A^{\dagger })^{-1}}$ si la matriz es invertible.

Referencias

Bibliografía

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Adjoint matrix", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4.