Número pentagonal

Un número pentagonal es un número figurado que extiende el concepto de número triangular y cuadrado al pentágono, pero, a diferencia de los dos primeros, los patrones utilizados en la construcción de los números pentagonales no son simétricamente rotacionales.

El n-ésimo número pentagonal p_n es el número de distintos puntos en un patrón de puntos, consistente en el contorno de pentágonos regulares cuyos lados contienen de 1 a n puntos, superpuestos, de forma que tienen en común el vértice. Por ejemplo, el tercero de ellos está formado de contornos compuestos por 1,5 y 10 puntos respectivamente, pero el 1, 3 puntos del de 5, coinciden con 3 del de 10, dejando 12 puntos distintos, 10 en forma de pentágono, y 2 dentro de él...

Historia

Cada número pentagonal p_n está definido por la siguiente fórmula:

${\displaystyle p_{n}={\frac {n(3n-1)}{2}}}$

Para n ≥ 1, n ∈ N, los primeros números pentagonales son:

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590, 651, 715, 782, 852, 925, 1001, 1080, 1162, 1247, 1335, 1426, 1520, 1617, 1717, 1820, 1926, 2035, 2147, 2262, 2380, 2501, 2625, 2752, 2882, 3015, 3151, 3290, 3432, 3577, 3725 ...( (sucesión A000326 en OEIS) )

El n-ésimo número pentagonal es la tercera parte del (3n-1)-ésimo número triangular.

Los números pentagonales son importantes en la teoría de particiones de Euler, como está expresado en su teorema del número pentagonal.

Generalizaciones

Los números pentagonales generalizados son obtenidos de la fórmula descrita arriba, pero ahora n toma valores en la secuencia 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4..., produciendo:

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22...

Los números pentagonales no deben confundirse con los números pentagonales centrados. Respecto a este tema es importante la lectura del artículo "Sobre las propiedades de los pentagonales generalizados y sus relaciones con números como triangulares, oblongos y otros" de Alexander José Villarroel Salazar, Francisco Javier Villarroel Rosillo

Tests para números pentagonales

Uno puede comprobar si un número x es un número pentagonal haciendo la siguiente operación:

${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {24x+1}}+1}{6}}}$

Si n resulta un número entero, entonces x es el n-ésimo número pentagonal. Si n no es un número entero, entonces x no es pentagonal.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Pentagonal number». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric W. «Pentagonal number theorem». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.