Número primo primo

En matemáticas, los primos primos son números primos que difieren entre sí en cuatro unidades.^[1]​ El concepto surge a partir del de primos gemelos, esto es, las parejas de números primos cuya diferencia es dos unidades. Existe también un nombre para los primos que difieren en 6 unidades: primos sexys.

En la OEIS se corresponde con las sucesiones A023200 y A046132.

Las primeras parejas de primos primos (todos menores que 1000) son:

(2, 3),(5),(7, 11), (13, 17), (19, 23), (37, 41), (43, 47), (67, 71), (79, 83), (97, 101), (103, 107), (109, 113), (127, 131), (163, 167), (193, 197), (223, 227), (229, 233), (277, 281), (307, 311), (313, 317), (349, 353), (379, 383), (397, 401), (439, 443), (457, 461), (463,467), (487, 491), (499, 503), (613, 617), (643, 647), (673, 677), (739, 743), (757, 761), (769, 773), (823, 827), (853, 857), (859, 863), (877, 881), (883, 887), (907, 911), (937, 941), (967, 971)

Propiedades

El único número primo que pertenece a dos pares de primos primos es el 7. Uno de los números n, n+4, n+8 siempre será divisible por 3, por lo que solo para n = 3 se da el caso de que en esa terna aparecen tres primos primos.

La mayor pareja de primos primos encontrada hasta la fecha es (p, p + 4) donde

p = 4111286921397 · 266420 + 1

el cual tiene 20008 dígitos. De hecho, este número es parte de una terna prima pues p es también un primo gemelo (porque p − 2 es también primo).

La pareja de primos primos probables más grande conocida es:

474435381 · 298394 − 1

474435381 · 298394 − 5.

que tienen 29629 dígitos y fue encontrada por Angel, Jobling y Augustin.^[2]​ Se ha demostrado que es primo el primero de estos números, mientras que el segundo es un primo probable.

De la primera conjetura de Hardy–Littlewood se sigue que los primos primos tienen la misma densidad asintótica que los primos gemelos.

Se puede definir un equivalente a la Constante de Brun para primos gemelos, llamada constante de Brun para primos primos, por la siguiente serie convergente, donde el término inicial (3, 7) se omite:^[3]​

${\displaystyle B_{4}=\left({\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}\right)+\left({\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}\right)+\left({\frac {1}{19}}+{\frac {1}{23}}\right)+\cdots .}$

Utilizando primos primos hasta 2⁴², el valor de B₄ fue estimado por Marek Wolf, en 1996 en

B₄ ≈ 1.1970449.^[4]​

Esta constante no debería confundirse con la constante de Brun para cuádruplas de primos, que también se nota como B₄.

El número de Skewes para los primos primos es ${\displaystyle 5206837}$ (Tóth, 2019)

Véase también

• Primos gemelos
• Primos sexys
• Número primo / Primo de Solinas
• Conjetura de los números primos gemelos
• Constante de Brun

Referencias

Bibliografía

• Wells, David (2011). Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math. John Wiley & Sons. p. 33. ISBN 978-1118045718. 
• Fine, Benjamin; Rosenberger, Gerhard (2007). Number theory: an introduction via the distribution of primes. Birkhäuser. pp. 206. ISBN 978-0817644727. 
• Tóth, László (2019), «On The Asymptotic Density Of Prime k-tuples and a Conjecture of Hardy and Littlewood», Computational Methods in Science and Technology 25 (3), doi:10.12921/cmst.2019.0000033 ..
• Wolf, Marek (February 1998). «Random walk on the prime numbers». Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications 250 (1–4): 335-344. doi:10.1016/s0378-4371(97)00661-4.