Símbolo k-Pochhammer

En la teoría matemática de funciones especiales, el símbolo k-Pochhammer y la función k-gamma, introducidas por Rafael Díaz y Eddy Pariguan^[1]​ son generalizaciones del símbolo de Pochhammer y la función gamma. Se diferencian del símbolo de Pochhammer y la función gamma en que se pueden relacionar con una progresión aritmética general de la misma manera que se relacionan con la secuencia de enteros consecutivos.

Definición

El símbolo k de Pochhammer(x)_n,k se define como

${\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{n,k}&=x(x+k)(x+2k)\cdots (x+(n-1)k)=\prod _{i=1}^{n}(x+(i-1)k)\\&=k^{n}\times \left({\frac {x}{k}}\right)_{n},\,\end{aligned}}}$

y la función k-gamma Γ_k, con k > 0, se define como

${\displaystyle \Gamma _{k}(x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!k^{n}(nk)^{x/k-1}}{(x)_{n,k}}}.}$

Cuando k=1 se obtienen el símbolo de Pochhammer estándar y la función gamma clásica.

Díaz y Pariguan usan esas definiciones para demostrar un número de propiedades de la función hipergeométrica. A pesar de que Díaz y Pariguan restringen esos símbolos para k > 0, el símbolo k Pochhammer como ellos lo definen está bien definido para todos los números reales k, y para los números negativos k se obtiene el factorial descendente, mientras que para k = 0 se reduce a la potencia xⁿ.

El artículo de Díaz y Pariguan no aborda las muchas analogías entre el símbolo k de Pochhammer y la función potencia, como el hecho de que el teorema del binomio se puede extender a los símbolos k de Pochhammer . Sin embargo, es cierto que muchas ecuaciones que involucran la función de potencia xⁿ continúan siendo válidas cuando xⁿ se reemplaza por (x )_n,k.

Referencias

• Mubeen, Shahid; Rehman, Abdur. Journal of Informatics and Mathematical Sciences, ed. «A Note on k-Gamma Function and Pochhammer k-Symbol» (en inglés). RGN Publications. Consultado el 4 de agosto de 2023.