Función de Dirichlet en el plano complejo. En matemáticas , una serie de Dirichlet es toda serie del tipo
∑ n = 1 ∞ a n n s , {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},} donde s y a n para n = 1, 2, 3, ... son números complejos .
Las series de Dirichlet juegan un número importante de roles en la teoría analítica de números . La definición más popularizada de la función zeta de Riemann es una serie Dirichlet, tal como son las funciones L de Dirichlet . Se conjetura que las series de clase tipo Selberg satisfacen la hipótesis generalizada de Riemann . La serie ha sido nombrada en honor a Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet .
Una serie de Dirichlet[ 1] [ 2] es toda serie del tipo
∑ n = 1 ∞ a n e − λ n z {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}z}} donde ( a n ) n {\displaystyle (a_{n})_{n}} es una sucesión de números complejos, z {\displaystyle z} es un número complejo y ( λ n ) n {\displaystyle (\lambda _{n})_{n}} es una sucesión real, creciente y divergente. Algunos autores exigen que la sucesión ( λ n ) n {\displaystyle (\lambda _{n})_{n}} sea además de términos positivos. Dicha exigencia se cumple en nuestra definición excepto para una cantidad finita de términos.
Cuando λ n = log ( n ) {\displaystyle \lambda _{n}=\log(n)} se obtiene la serie ordinaria de Dirichlet :
∑ n = 1 ∞ a n n s , {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},}
Ejemplos La serie de Dirichlet más famosa es
ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s , {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},} que es la función zeta de Riemann . Otra serie de Dirichlet es:
1 ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ μ ( n ) n s {\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}} donde μ(n ) es la función de Möbius . Es posible obtener esta y varias de las series indicadas a continuación realizando una inversión de Möbius y una convolución de Dirichlet a series conocidas. Por ejemplo, dado un carácter de Dirichlet χ ( n ) {\displaystyle \chi (n)} se tiene que
1 L ( χ , s ) = ∑ n = 1 ∞ μ ( n ) χ ( n ) n s {\displaystyle {\frac {1}{L(\chi ,s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\chi (n)}{n^{s}}}} donde L ( χ , s ) {\displaystyle L(\chi ,s)} es una función L de Dirichlet .
Otras identidades incluyen
ζ ( s − 1 ) ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ φ ( n ) n s {\displaystyle {\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}} donde φ(n ) es la función indicatriz de Euler
ζ ( s ) ζ ( s − a ) = ∑ n = 1 ∞ σ a ( n ) n s {\displaystyle \zeta (s)\zeta (s-a)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}}} ζ ( s ) ζ ( s − a ) ζ ( s − b ) ζ ( s − a − b ) ζ ( 2 s − a − b ) = ∑ n = 1 ∞ σ a ( n ) σ b ( n ) n s {\displaystyle {\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}} donde σa (n ) es la función divisor . Otras identidades que involucran a la función divisor d =σ0 son
ζ 3 ( s ) ζ ( 2 s ) = ∑ n = 1 ∞ d ( n 2 ) n s {\displaystyle {\frac {\zeta ^{3}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n^{2})}{n^{s}}}} ζ 4 ( s ) ζ ( 2 s ) = ∑ n = 1 ∞ d ( n ) 2 n s {\displaystyle {\frac {\zeta ^{4}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)^{2}}{n^{s}}}} El logaritmo de la función zeta está dado por
log ζ ( s ) = ∑ n = 2 ∞ Λ ( n ) log ( n ) 1 n s {\displaystyle \log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{\log(n)}}\,{\frac {1}{n^{s}}}} para ℜ ( s ) > 1 {\displaystyle \Re (s)>1} . Aquí, Λ ( n ) {\displaystyle \Lambda (n)} es la función de von Mangoldt . La derivada logarítmica es por lo tanto
ζ ′ ( s ) ζ ( s ) = − ∑ n = 1 ∞ Λ ( n ) n s {\displaystyle {\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}} Estos últimos dos son casos especiales de una relación más generalizada para las derivadas de la serie de Dirichlet, indicadas a continuación.
Dada la función de Liouville λ ( n ) {\displaystyle \lambda (n)} , se tiene que
ζ ( 2 s ) ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ λ ( n ) n s {\displaystyle {\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}} Otro ejemplo, en cambio se relaciona con la suma de Ramanujan :
σ 1 − s ( m ) ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ c n ( m ) n s {\displaystyle {\frac {\sigma _{1-s}(m)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{n}(m)}{n^{s}}}}
Derivadas Dado
F ( s ) = ∑ n = 1 ∞ f ( n ) n s {\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}} para una función completamente multiplicativa f ( n ) {\displaystyle f(n)} , y asumiendo que la serie converge para ℜ ( s ) > σ 0 {\displaystyle \Re (s)>\sigma _{0}} , entonces se tiene que
F ′ ( s ) F ( s ) = − ∑ n = 1 ∞ f ( n ) Λ ( n ) n s {\displaystyle {\frac {F^{\prime }(s)}{F(s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\Lambda (n)}{n^{s}}}} converge para ℜ ( s ) > σ 0 {\displaystyle \Re (s)>\sigma _{0}} . Siendo, Λ ( n ) {\displaystyle \Lambda (n)} la función de von Mangoldt .
Productos Sea F ( s ) = ∑ n = 1 ∞ f ( n ) n − s {\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)n^{-s}} y
G ( s ) = ∑ n = 1 ∞ g ( n ) n − s {\displaystyle G(s)=\sum _{n=1}^{\infty }g(n)n^{-s}}
Si tanto F(s) y G(s) son absolutamente convergentes para s> a y s > b entonces se tiene que:
1 2 T ∫ − T T d t F ( a + i t ) G ( b − i t ) d t = ∑ n = 1 ∞ f ( n ) g ( n ) n − a − b {\displaystyle {\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}dtF(a+it)G(b-it)dt=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)g(n)n^{-a-b}} dado que T ∼ ∞ {\displaystyle T\sim \infty }
para a=b y f(n)=g(n) se obtiene:
1 2 T ∫ − T T d t | F ( a + i t ) | 2 d t = ∑ n = 1 ∞ [ f ( n ) ] 2 n − 2 a {\displaystyle {\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}dt|F(a+it)|^{2}dt=\sum _{n=1}^{\infty }[f(n)]^{2}n^{-2a}} as T ∼ ∞ {\displaystyle T\sim \infty }
La Transformada de Mellin de una Serie de Dirichlet está dada por la fórmula de Perron .
Véase también
Referencias ↑ Serre, Jean-Pierre. A Course in Arithmetic . Springer Verlag. ISBN 0-387-90040-3 . ↑ «PlanetMath».
Bibliografía Tom Apostol, Introduction to analytic number theory , Springer-Verlag, New York, 1976. G. H. Hardy, and Marcel Riesz, The general theory of Dirichlet's series , Cambridge Tracts in Mathematics, No. 18 (Cambridge University Press , 1915). The general theory of Dirichlet's series by G. H. Hardy. Cornell University Library Historical Math Monographs. {Reprinted by} Cornell University Library Digital Collections Control de autoridades Proyectos Wikimedia Datos: Q620595 Multimedia: Dirichlet series / Q620595 Identificadores BNE : XX544978 BNF : 122854869 (data) GND : 4150139-1 LCCN : sh85120239 NDL : 00561503 NLI : 987007531747605171 SUDOC : 031687067 Diccionarios y enciclopedias Britannica : url
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