Teorema de Carmichael

Este artículo habla del teorema de Carmichael de los números de Fibonacci. También existe otro teorema de Carmichael aplicado a la definición recursiva de la función de Carmichael.

El teorema de Carmichael, nombrado así en honor al matemático estadounidense R.D. Carmichael, establece que para todo n mayor que 12, el n-ésimo número de Fibonacci F(n) tiene al menos un factor primo que no es factor de ninguno de los términos anteriores de la sucesión. Las únicas excepciones para n menor o igual que 12 son:

F(1)=1 y F(2)=1, que no tienen factores primos

F(6)=8, cuyo único factor primo es 2 (que es F(3))

F(12)=144, cuyos únicos factores primos son 2 (que es F(3)) y 3 (que es F(4))

Si un número primo p es un factor de F(n) y no es factor de ningún F(m) con m < n, entonces se dice que p es un factor característico o un divisor primitivo de F(n). El teorema de Carmichael establece que cada número de Fibonacci, con las únicas excepciones anteriormente mencionadas, tiene al menos un factor característico.

Referencias

• Carmichael, R. D. (1913), «On the numerical factors of the arithmetic forms αⁿ+βⁿ», Annals of Mathematics 15 (1/4): 30-70, doi:10.2307/1967797 .

• Knott, R., Fibonacci numbers and special prime factors, Fibonacci Numbers and the Golden Section, archivado desde el original el 6 de septiembre de 2009, consultado el 26 de agosto de 2013 .

• Yabuta, M. (2001), «A simple proof of Carmichael's theorem on primitive divisors», Fibonacci Quarterly 39: 493-443 .