Teorema de Gauss-Bonnet generalizado

En matemáticas, el teorema de Gauss-Bonnet generalizado presenta la característica de Euler de una variedad de Riemann cerrada como integral de cierto polinomio derivado de su curvatura. Es una generalización directa del teorema de Gauss-Bonnet a la dimensión par en general.

Sea M una variedad de Riemann compacta de la dimensión 2n y sea Ω la forma de curvatura de la conexión de Levi-Civita. Esto significa que Ω es ${\displaystyle {\mathfrak {s}}{\mathfrak {o}}(2n)}$-valorada en M. Tal Ω puede ser mirado como matriz anti-simétrica 2n×2n cuyas entradas sean 2-formas, así que es una matriz sobre el anillo conmutativo ${\displaystyle \bigwedge ^{\hbox{par}}T^{*}M}$. Uno puede por lo tanto tomar el Pfaffiano de Ω Pf(Ω) que resulta ser una 2n-forma.

El teorema de Gauss-Bonnet generalizado establece que

${\displaystyle \int _{M}{\mbox{Pf}}(\Omega )\ =2^{n}\pi ^{n}\chi (M)}$

donde χ denota la característica de Euler de M.

Como con el teorema de Gauss-Bonnet, hay generalizaciones cuando M es una variedad con borde.

• Homomorfismo de Chern-Weil
• Número de Pontryagin
• Clase de Pontryagin

• Some Implications of the Generalized Gauss-Bonnet Theorem (AMS) American Mathematical Society