Teorema de Laguerre

Teorema de Laguerre (caso real):^[1]​

Si ${\textstyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}$ coincide con ${\displaystyle n}$ y tiene ${\displaystyle n}$ raíces reales, entonces todas estas raíces están en el intervalo ${\displaystyle [u,v]}$, donde ${\displaystyle u}$ y ${\displaystyle v}$ son las raíces del polinomio:

${\displaystyle nx^{2}+2a_{n-1}x+\left(2(n-1)a_{n-2}-(n-2)a_{n-1}^{2}\right)}$

Teorema de Laguerre (caso complejo):^[2]​

Sea ${\displaystyle f(z)=z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+...+a_{0}}$ un polinomio unitario de grado ${\displaystyle n}$ con coeficientes complejos. Considérese un punto ${\displaystyle z_{0}}$ tal que ${\textstyle f'(z_{0})\neq 0}$.

Entonces, existe al menos una raíz de ${\displaystyle f}$ en el disco cerrado centrado en ${\displaystyle z_{0}}$ y de radio ${\displaystyle n{\frac {|f(z_{0})|}{|f'(z_{0})|}}}$

${\displaystyle f(z_{0})\neq 0}$

${\displaystyle f(z)}$

${\textstyle f(z)=\prod _{k=1}^{n}(z-\zeta _{k})}$

${\displaystyle f'(z_{0})=\sum _{i=0}^{n}\displaystyle \prod _{j=0 \atop j\neq i}^{n}(z_{0}-\zeta _{j})=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f(z_{0})}{z_{0}-\zeta _{k}}}}$

Entonces,

${\displaystyle {\frac {f'(z_{0})}{f(z_{0})}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{z_{0}-\zeta _{k}}}}$

y por lo tanto

${\displaystyle {\frac {|f'(z_{0})|}{|f(z_{0})|}}\leq \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{|z_{0}-\zeta _{k}|}}\leq {\frac {n}{\min _{k}|z_{0}-\zeta _{k}|}},}$

dicho de otro modo,

${\displaystyle \min _{k}|z_{0}-\zeta _{k}|\leq n{\frac {|f(z_{0})|}{|f'(z_{0})|}},}$

lo que completa la demostración