Teorema de Radon–Nikodym

En matemáticas y particularmente en teoría de la medida, el teorema de Radon–Nikodym establece condiciones bajo las cuales se pueden generar medidas con signo absolutamente continuas respecto a una medida dada.

El teorema está asociado a los nombres de Johann Radon, que lo probó en 1913 para el caso particular en que el espacio subyacente es R'^N, y Otto M. Nikodym, que lo extendió al caso general en 1930.^[1]​

Formulación

Dado un espacio medible ${\displaystyle (X,\Sigma )}$, una medida ${\displaystyle \sigma }$-finita ${\displaystyle \mu :\Sigma \to \mathbb {R} }$ y una medida con signo ${\displaystyle \sigma }$-finita ${\displaystyle \nu :\Sigma \to \mathbb {R} }$ absolutamente continua con respecto a ${\displaystyle \mu }$, entonces existe una función medible ${\displaystyle f}$ sobre ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ que satisface:

${\displaystyle \nu (A)=\int _{A}f\,d\mu }$, para todo ${\displaystyle A\in \Sigma }$.

Además, si ${\displaystyle g}$ es otra función medible en ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ tal que

${\displaystyle \nu (A)=\int _{A}g\,d\mu }$, para todo ${\displaystyle A\in \Sigma }$

entonces ${\displaystyle f=g}$ ${\displaystyle \mu }$-casi siempre.

Derivada de Radon–Nikodym

Dadas las condiciones antes mencionadas, a la función ${\displaystyle f}$ que satisface

${\displaystyle \nu (A)=\int _{A}f\,d\mu }$

para todo ${\displaystyle A\in \Sigma }$ se la llama derivada de Radon-Nykodym de ${\displaystyle \nu }$ con respecto a ${\displaystyle \mu }$ y suele representarse mediante ${\displaystyle \textstyle f={{d\nu } \over {d\mu }}}$. Dicha notación refleja el hecho de que esta función desempeña un papel análogo al de la derivada en el cálculo.

Notas

Referencias

• Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8.